群表示论

[拼音]：qunbiaoshilun

[外文]：group representation theory

用具体的线性群（矩阵群）来描述群的理论，是研究群的最有力的工具之一。在19世纪末和20世纪初它由F.G.弗罗贝尼乌斯和W.伯恩赛德独立开创，而弗罗贝尼乌斯的工作则由I.舒尔所改善和简化。下面只论及有限群表示论。

设G是有限群，V是复数域 C上的有限维向量空间，GL（V）是V上全体可逆线性变换所组成的群。从G 映入GL(V)的一个同态

称为G的一个表示，而V称为ρ的表示空间。设U是V的一个子空间，若，则称U是V（关于ρ）的一个不变子空间，这时ρ(g)在U上的限制就给出G的一个表示

如果没有非零真不变子空间，就说V是不可约表示空间，而ρ称为G的不可约表示；否则就说V和ρ是可约的。如果V有不可约不变子空间V₁，V₂，…，V_r使V是它们的直和即V=V₁嘰…嘰V_r，就说ρ 是完全可约的。这时，若，则记，并说ρ分解成不可约表示ρ₁，ρ₂，…，ρ_r的和。有限群表示论的一个重要结果即马施克定理：有限群的任一表示都是完全可约的。因此，研究有限群的表示只要研究它的不可约表示就够了。

设ρ:G→GL(V)是有限群G的一个表示。如果选V的一个基υ₁，υ₂…，υ_n，并令

那么映射，g∈G，就是从G映入GL_n(C)的同态，称为与ρ相应的G的矩阵表示。设相应于V的两个基，ρ分别相应矩阵表示则有可逆矩阵p使。（p实际上是V的两个基的转换矩阵），这时就说这两个矩阵表示是等价的。

设ρ₁和ρ₂ 是有限群 G的两个表示，表示空间分别是V₁和 V₂，如果有可逆线性映射 φ:V₁→V₂使 ，凬υ₁∈V₁，g∈G，就说ρ₁和ρ₂是等价的。显然，两个表示等价，当且仅当它们相应的矩阵表示是等价的。等价的表示并不视为有什么本质区别。

设H是有限群G的子群，x₁，x₂，…，x_k是H在G中一左陪集代表系，ρ是H的一个表示。那么，对每个g∈G规定ρ^G：，式中

ρ^G是G的一个表示，即所谓ρ的诱导表示。设ρ和ψ是G的两个表示，规定，其中ρ(g)圱ψ(g)是矩阵ρ(g)和ψ(g)的克罗内克乘积，ρ圱ψ也是G的一个表示，即表示 ρ 与 ψ 的张量积。所谓 m×m 矩阵和n×n矩阵 的克罗内克乘积(张量积)，是指。它是一个mn×mn矩阵。例如，当m＝2，n＝3时，

设ρ：G→GL(V)是有限群G的一个表示。令，，则ⅹ_ρ是定义在G上的函数。显然它在G的共轭类上取相同的值，因此ⅹ_ρ是G的类函数，ⅹ_ρ称为表示ρ的特征标。当ρ不可约时，ⅹ_ρ称为不可约特征标。特征标实际上确定了表示，可以证明，两个表示等价，当且仅当它们的特征标相等。利用特征标还可以证明，G只有有限个不同的不可约特征标，其个数恰好等于G的共轭类的个数。因此研究有限群的不可约特征标是有重要意义的。关于不可约特征标有所谓正交关系，即设ⅹ₁，ⅹ₂，…，ⅹ_c是G的不同的不可约特征标，g₁，g₂，…，g_c是G的所有的不同的共轭类中的代表元，而h₁，h₂，…，h_c是这些共轭类中元素个数，则有

，

，

式中δ_ij为克罗内克符号。

诱导表示的特征标称为诱导特征标。表示的张量积的特征标是相应特征标的乘积。诱导特征标及与其有关的弗罗贝尼乌斯互反律和特征标乘积的分解，是表示论的主要工具。所谓弗罗贝尼乌斯互反律，即若ρ与ψ分别为G与H的不可约表示，则ψ在ρ_H(即ρ限制到H上)的完全分解中出现的重数等于ρ在诱导表示 ψ^G的完全分解中出现的重数。

对任意域F亦可象对复数域C那样定义表示空间、表示及特征标等。若F的特征不整除有限群G的阶，则仍然有表示的完全可约性，如果F 同时还是代数封闭的，那么用F代替C，以上的讨论成立。以n记有限群G的所有元素的阶的最小公倍数。H.马施克于1898年曾猜想G 的所有不可约表示皆可在n次分圆域Q(ξ_n)(ξ_n为n次本原单位根)中实现， 即如果ⅹ是G的一个(在复数域C上的)不可约特征标，那么存在一个矩阵表示， 其特征标即ⅹ 。R.（D.）布饶尔在1945年证明了这个猜想。

将群表示论应用于有限群的研究，最早的最著名的结果是伯恩赛德定理：阶为p^αq^β的群是可解群，这里p、q是相异素数，α、β是非负整数。近年来这个定理虽已有了抽象群论的证明，但不如用表示论的原证简捷。

20世纪20年代，E.诺特强调了“模”这一代数结构的重要性，她把有限群G的表示ρ：G→GL(V)的表示空间V看成一个双模，即除了域F的元素作为算子（即V到V的自同态）外，还容许群环F[G]的元素g₁，g₂，…，g_n是G的全部元素）作为算子：

，

并且适合条件

的模。反之，给定一个有限维F[G]的模V，显然每个g∈G在V上引起一个可逆线性变换，由此得到G的一个表示。对于F[G]的模，可以与上文完全平行地定义可约性、不可约性及完全可约性。一个F[G]的模是可约的或不可约的或完全可约的，当且仅当G的相应的表示是可约的或不可约的或完全可约的。所谓一个代数A是半单的，是指所有的A模都是完全可约的。因此群代数F[G]是半单的。这样，E.诺特就将代数结构论和群表示论融合为一，推进了这两个分支的发展。

近50年来，布饶尔将群表示论的研究大为深化，他引进了模表示论，研究了群阶除尽域的特征的域上的表示，以及模表示与常表示（即C上的表示）的关系，而群表示论在有限群结构理论中起着日益重要的作用。在这方面的第一个重要结果是费特－汤姆森证明了有长期历史的伯恩赛德猜想：奇数阶群都是可解群。近年来则导致了有限单群分类问题的解决。（见有限单群）

有限群的表示论已推广到无限群，特别是局部紧拓扑群，这成为近代分析的一个主要领域，推广了经典的傅里叶分析。群表示论在理论物理和量子力学中有重要的应用。

参考书目

1. C.W.Curtis and I.Reiner，Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras，John Wiley and Sons， New York， 1962.
2. I.M.Issacs，character Theory of Finite Groups，Academic Press， New York， 1976.
3. W.Feit，Representation of Finite Groups，North-Holland， Amsterdam， 1982.