[拼音]：xingshi luoji
[外文]：formal logic
研究演绎推理及其规律的科学，包括对于词项和命题形式的逻辑性质的研究。它提供检验有效的推理和非有效的推理的标准。形式逻辑已经历了2000多年的历史，19世纪中叶以前的形式逻辑主要是传统逻辑，19世纪中叶以后发展起来的现代形式逻辑，通常称为数理逻辑，也称为符号逻辑。
研究对象和方法
形式逻辑研究的推理中的前提和结论之间的关系，是由作为前提和结论的命题的逻辑形式决定的，而命题的逻辑形式(简称命题形式)的逻辑性质则是由逻辑常项决定的。要弄清逻辑常项的性质，系统地揭示推理规律，就要通过建立逻辑演算，进行元逻辑的研究。建立逻辑演算、研究元逻辑的方法是形式化的公理方法。
逻辑常项每一门科学理论都是一个由真命题组成的系统。逻辑真命题是根据被称为逻辑常项的逻辑词的意义和性质确立的。对于逻辑常项，可以有狭义的和广义的两种理解。狭义的逻辑常项包括：
（1）命题联结词。基本的命题联结词有五个，称为否定词、合取词、析取词、蕴涵词和等值词。在汉语中，它们分别由“并非”、“并且”、“或（者）”、“如果，那末”、“当且仅当”这些语词表达。
（2）量词，包括全称量词和存在量词。在汉语中，通常用 “所有”、“一切” 表示全称量词，“有”、“有的”表示存在量词。
（3）等词，即表示同一的概念。自然语言中的这类语词，除了表达逻辑意义外，通常还有逻辑以外的意义。因此，形式逻辑对这些逻辑常项都用符号表示。例如，五个命题联结词分别用符号塡、∧、∨、→和凮表示；等词用=表示；全称量词和存在量词分别用凬x和ヨx 表示，其中凬称为全称量词符号，ヨ称为存在量词符号。全称量词凬x 读作“对于所有(一切)个体 x”，存在量词ヨx读作“存在（有）一个个体x，使得…”。其中的x，称为约束个体变元， 它的值是某个固定的事物类的分子或叫做个体， 这个类称为论域或称个体域。 所谓论域即是一门科学所要研究的对象的不空集合， 论域中的元素即研究的对象称为个体。只研究命题联结词的逻辑系统称为命题逻辑。 研究 ①、②两类逻辑常项以及谓词的系统称为一阶逻辑， 又称狭义谓词逻辑、量词理论（见谓词逻辑）。包括等词= 的系统叫做带等词的一阶逻辑。
广义的逻辑常项包括以下几类：
（1）高阶量词。指量词不是象在一阶逻辑中那样作用于给定论域中的个体，而是作用于个体的谓词即个体的集合和个体的 n元组的集合，或者是作用于谓词的谓词，也就是作用于个体的集合的集合，等等。由此得到的逻辑系统叫做二阶逻辑、三阶逻辑等等。把所有有穷阶逻辑汇集在一起的系统叫做类型论。与一阶逻辑相对照，这些系统都是高阶逻辑。
（2）由符号∈表示的属于关系。一阶逻辑加上由∈构成的系统就是集合论。
（3）必然、可能这一类概念。在一阶逻辑基础上加进必然和可能这两个逻辑词，就构成一阶模态逻辑；在高阶逻辑中加进这两个逻辑词，就构成高阶模态逻辑，等等。
命题形式和推理形式推理是由作为前提和结论的命题组成的。因此，分析推理的形式，需要先分析命题的形式。一个命题是由若干个词项组成的，对于一个给定的命题，其中的非逻辑词项都可以用适当类型的变元代替，并用符号表示在其中出现的逻辑常项，其结果就得到显示该命题的形式的一个公式。设以下两个命题：
（1）没有最大的整数；
（2）每件提案都有人附议。这两个命题具有怎样的形式，不容易看出来。为了显示出它们的逻辑形式，将这两个命题换述为：
（1）ˊ对于每一个整数x，都有一个比它大的整数；
（2）ˊ对于每一件提案x，都有人对它表示附议。
（1）ˊ和②ˊ显示出它们在结构上即形式上具有共同性。用适当类型的变元代替①和②中的非逻辑词项“整数”、“提案”、“人”、“比……大”等，就可以得到表示①ˊ和②ˊ因而表示命题①和②的形式的公式。表示命题形式的公式，通常要使用命题变元、个体变元和谓词变元。命题变元是表示命题的符号。命题总是或者是真的，或者是假的，命题的真或假称为命题的真值。命题变元取真或假为值。个体变元，是表示论域中的个体的符号，它取论域中的任一个体为值。谓词变元则是表示个体的性质或个体之间关系的符号。有了这些变元命题①和②的形式就由下面的公式表示:
凬xヨyR(y，x)
公式中的x，y是个体变元，R是谓词变元。如果以整数的集合作论域，并以整数之间的大于关系解释该公式中的谓词变元R，即用谓词“大于”代替R，也就是把R(y，x)解释成“y大于x”，就得到命题①。由这样的公式表示的是一类命题形式。另一类命题形式则与命题联结词有关。从已有的命题应用命题联结词可以构成新的命题，称为复合命题，例如，从①和②应用联结词“并且”，就可以构成复合命题：“没有最大的整数并且每件提案都有人附议。”决定复合命题逻辑性质的，是其中出现的联结词，而不依赖于构成复合命题的命题的内容或形式。因此，在分析复合命题的逻辑形式时，应考虑的是在其中出现的联结词的逻辑性质。这样，如果用命题变元 p、q代替复合命题中的两个命题，就得到p∧q这一形式。
一个推理由一个或几个称作前提的命题和一个称为结论的命题组成，例如，“凡阔叶植物都是落叶的，葡萄树是阔叶植物，所以葡萄树是落叶的”。在这一推理中，“所以”一词前面的两个命题是前提，“所以”后面的那个命题是结论。一个推理关系是前提和结论之间的逻辑关系。从前提推出结论，可以是直接的，即只是一步。但是，从一组前提S推出一个结论A，往往不是直接一步就得出的，而是一个包括许多步推理的过程。因此，在研究推理的形式和规律时，要把复杂的推理关系，即由许多步推理组成的前提和结论之间的关系，分解成从前提一步得出结论的推理关系，并研究这样的推理形式。一个推理的形式由作为前提和结论的命题形式而决定。推理形式由前提和结论的命题形式，再加上表示前提和结论之间的推理关系的符号来表示。对于前面那个具体推理来说，用适当的变元代替前提和结论中的非逻辑词项，同一个词项在几个命题中的出现代以同一的变元，它的两个前提和结论就分别具有形式：
凬x（G(x)→H(x)）；凬x（F(x)→G(x)）；凬x(F(x)→H(x))
这个推理的形式，还可以用下面的图式表示：
其中的横线表示前提和结论之间的推理关系，横线上面的公式是前提，横线下面的公式是结论。它也可以表示成下述式子：
凬x（G(x)→H(x)），凬x（F(x)→G(x)）儱凬x(F(x)→H(x))
其中符号儱表示推理关系，在符号儱左边的为前提，右边的为结论。另外，一个推理形式也可以转换成一个命题形式。其方法是：把几个前提的命题形式用联结词∧联结起来，再把表示前提和结论的公式用蕴涵符号→联结起来。相应于上面的推理形式的命题形式是下述公式：
凬x（G(x)→H(x)）∧凬x（F(x)→G(x)）→凬x(F(x)→H(x))
如同①和②这两个内容完全不同的命题具有相同的形式一样，不同的推理，同样可以有相同的形式。
真常公式和有效推理形式命题是有真假的。但作为一个符号公式的一个命题形式，本身是无所谓真假的。作为一个命题形式的公式，如对其中的变元给予解释，即用适当词项代替变元，就得到一个命题。有的命题形式，在一种解释下所得到的命题是一个真命题，在另一种解释下，可以得到一个假命题。例如，对于凬xヨyR(y，x)以1～9这9个数组成的集合{1，2，…，9}作论域，谓词变元R仍解释成数之间的大于关系，就得到一个对于论域{1，2，…，9}的断言，即在该论域中没有一个最大的数。这就是一个假的命题。因为就以 1～9这9个数组成的论域来说，是有一个最大的数的，这个最大的数就是9。
在表示命题形式的公式中，有一类公式具有特殊的性质，称为常真公式。例如，对于p∨塡p这一公式来说，不论其中的命题变元p取什么值，即不论p取真值还是取假值，根据联结词“或者”(∨)和“非”(塡)的逻辑性质，其结果总是真的。也可以说，不论 p是表示哪一个具体命题，用一个具体命题代替命题变元p时所得到的命题总是真的，而与用来代替命题变元p的命题的内容、真假无关，它的常真性是根据其中出现的逻辑联结词∨和塡的意义而成立的。公式
凬x（G(x)→H(x)）∧凬x（F(x)→G(x)）→凬x(F(x)→H(x))
也是常真的。不论取什么事物的集合作论域，以表示论域中的个体性质的词项代替其中的谓词变元，所得到的命题同样总是真的，它的真也是根据在其中出现的逻辑常项的意义而成立的。这样的公式，不论对它作怎样的代入，作怎样的解释，结果总是得到一个真命题，所以称为常真公式。公式p∨塡p的常真性，只跟命题联结词的意义有关，而不涉及量词的意义，这样的常真公式也称为重言式。不但和命题联结词的意义有关，而且也依赖于量词的逻辑性质的常真公式也称为普遍有效的。不是常真的，但在有的解释或代入下，得到的命题是真的，这类公式称为可满足的。普遍有效（常真）的公式具有特殊的意义，逻辑规律和有效的推理形式都是普遍有效的公式。而研究可满足的公式的意义在于，普遍有效性与可满足性是相互联系的，一个公式是普遍有效的，当且仅当它的否定是不可满足的。因此，形式逻辑对命题形式的公式既可以从普遍性方面研究，也可以从可满足性方面研究。
推理有有效的和非有效的之分。有效的推理是具有以下性质的推理:根据作为前提和结论的命题的形式，在前提真时，结论也必定是真的。决定一个推理是不是有效的，不是依据前提和结论的具体内容，而是依据于由前提和结论的逻辑形式决定的推理形式。区分一个推理形式是不是有效，可以用公式的普遍有效性定义推理形式的有效性，即一个推理形式是有效的，当且仅当与它相应的那个命题形式的公式是普遍有效的。对于命题演算的公式是否普遍有效，可以用能行的方法判定。所谓能行的方法，是指一种机械的程序，它对每一步该怎样做，都是明确地规定了的，按照这种程序机械地一步一步进行下去，在有穷步内就能判明一个公式是普遍有效的还是非普遍有效的。因此，对于仅与命题联结词有关的推理的形式，都可以能行地判定它是不是有效的。对于判定一阶逻辑的公式是不是普遍有效的，一般没有能行的方法。不过，可以对一阶逻辑的公式分类，对其中的若干类公式，可以有判定方法。另外，一阶逻辑对每个逻辑常项都规定有相应的推理规则，凡是按照这种推理规则从前提推出结论的推理，都是有效的。
形式化和形式系统常真的命题形式是为数无穷的。在这无穷多个常真的命题形式中，有的极为重要，有的不那么重要，但它们在一定意义上都是逻辑规律的反映。在传统逻辑中，除了三段论是关于很狭小的一类推理形式和规律的系统理论外，其它的只是关于个别的推理形式。而为了系统地研究推理及其规律，就必须把无穷多个常真的命题形式包括在一个系统中，对它们作整体的研究。在现代形式逻辑中，这样的研究是通过构造逻辑演算实现的。逻辑演算是一种形式系统，它是把逻辑理论形式化的结果。把命题逻辑形式化而建立的形式系统是命题演算，把一阶逻辑形式化而建立的形式系统则是狭谓词演算。在许多逻辑文献中，也往往把狭谓词演算称为一阶逻辑。
把一个理论形式化，也就是用一种称为形式语言的表意符号语言陈述所要形式化的理论。被形式化的理论中的概念用形式语言中的符号或者用按一定规则生成的符号组合（项）表示；被形式化的理论中的命题用按一定规则构造起来的形式语言的符号公式表示。一个形式语言包括初始符号和形成规则两个部分。由初始符号可以组成各种符号串，形成规则规定怎样生成或构造起来的符号串是合式公式（简称公式）。就逻辑演算说，形式语言包括以下几类初始符号：
（1）表示逻辑常项的符号；
（2）表示命题变元的符号；
（3）表示个体变元的符号；
（4）表示谓词变元的符号；
（5）构造合式公式用的技术性符号，包括括弧和逗号。有的逻辑演算中还包括：⑥表示函数的函数变元符号。命题演算的形式语言只需①、②、⑤类符号，谓词演算则用到①～⑤类符号或①～⑥类符号。形成规则则要满足：按形成规则生成的(合式)公式能确切地反映命题形式，因而能确切地反映前提和结论之间的推理关系。一阶逻辑的形式语言称为一阶语言。规定一个形式语言即规定各类初始符号和陈述形成规则，是构成一个逻辑演算，一般地说，也就是构造一个形式系统的第一步，一个形式语言是一个逻辑演算的第一个组成部分。一个逻辑演算的第二个组成部分是一组公理，公理是特别挑选出来的一组合式公式，其数目可以有穷也可以无穷。逻辑演算的第三个组成部分是一组变形规则，也称为推理规则。变形规则规定如何从公理和已经推导出来的一个或几个公式，经过符号变换而推导出另一个公式。从公理出发应用变形规则可以推导出一系列公式，称为定理。
把一个逻辑理论形式化，构成一个逻辑演算（形式系统），这个逻辑演算本身就成为研究对象，人们通过对逻辑演算的研究研究逻辑规律。在构造逻辑演算时，形式语言的符号、形成规则、公理和变形规则以及由规则所生成的对象包括合式公式和应用变形规则从公理推导出来的公式──定理，都是有预定的解释的。但是，当把逻辑演算作为形式系统加以研究时，是把符号、合式公式等都作为未解释的，因而是没有任何涵义的对象看待的。进行这样研究的优点在于，符号、公式都是有穷的具体对象，是完全确定的，而应用变形规则从公理和已经推导出来的公式推导新公式，也只涉及公式即符号组合的形状。这样的具体对象不会引起理解的歧义和掌握的困难。而意义是抽象的、比较难掌握的，会引起理解的不同。所以，通过对具体对象的研究有助于掌握抽象的东西。这种只涉及具体对象，只涉及公式之间的关系的研究，称为语法的研究。当把逻辑演算（形式系统）加以解释，并研究其公式和它们的意义之间的关系时，就称为语义的研究。一个逻辑演算加以解释后，就是一个逻辑理论。某些初始符号经解释后是逻辑概念，合式公式经解释后为命题形式，变形规则经解释后则是推理规则，公理和定理经解释后就成了表示逻辑规律的常真命题或有效的推理形式。一般的形式系统经解释后，就是一个有内容的科学理论。
形式语言作为研究的对象，被称为对象语言。在描述逻辑演算和研究逻辑演算时，还要使用一种被称为元语言的语言。对逻辑演算的研究，不仅要推导演算中的定理，从而得到一系列反映逻辑规律的常真的普遍有效的公式，而且还要把演算本身作为整体加以研究，从而揭示整个演算系统的某些重要的性质。这种研究也要证明一些定理，它们不是演算中的定理，而是关于整个演算系统的定理。关于整个演算系统性质的研究，称为元逻辑的研究，所证明的定理则称为元定理。元逻辑是现代形式逻辑的很重要的组成部分，元定理揭示的是关于逻辑演算的重要性质，是对于逻辑规律的深刻认识。
传统逻辑
形式逻辑的创始人是古希腊的亚里士多德。亚里士多德建立了第一个逻辑系统，即三段论理论。继亚里士多德之后，麦加拉－斯多阿学派逻辑揭示出命题联结词的一些重要性质，发现了若干与命题联结词有关的推理形式和规律。中世纪的一些逻辑学家，发展和丰富了形式逻辑。所谓传统逻辑，就是指由亚里士多德开创、经历2000多年历史、至19世纪进入现代发展阶段前所发展起来的形式逻辑体系和理论。传统逻辑通常把命题分为直言命题、选言命题和假言命题，并研究这几种命题的形式和推理形式。传统逻辑还包括关于矛盾律和排中律等逻辑规律的理论，以及有关词项的理论。
传统逻辑的建立和发展，在人类文明进步的历史中意义是重大的，但它也有很大的缺陷和局限。在传统逻辑中，三段论是一个最完美的理论，构成了一个完整的系统。三段论属于谓词逻辑。谓词有不同类型，分为一元的、二元的、三元的，也称一目的、二目的…等等。所谓一元的，是表示一个对象的性质的谓词，如“是动物”、“是素数”；二元的是表示两个对象之间的关系的谓词，如“兄弟”、“大于”；三元的是表示三个对象之间的关系的谓词，如“在…之间”，等等。但是三段论理论只研究以直言命题作前提和结论的这一类推理的推理形式和规律。而所谓直言命题是只包含一元谓词的命题。三段论是关于一元谓词的逻辑理论。对于包含二元以上的谓词即多元谓词的命题及其相关的推理形式和规律，传统逻辑完全没有研究。它也没有关于关系的逻辑理论。在谓词逻辑中，重要的是研究量词的逻辑性质，而量词是和谓词的元数相关联的。一个只包含一元谓词的命题是一种最简单的情形。对于包含多元谓词的命题，情形马上变得复杂了。因为量词的某些逻辑性质，只有在几个量词同时出现的场合中才显示出来，量词的重要意义也在这时才显示出来。由于传统逻辑完全没有研究包含多元谓词的关系逻辑，在传统逻辑的框架内就不可能揭示出量词的重要逻辑性质和规律，由此决定了传统逻辑的谓词逻辑是一个内容贫乏的理论。
在命题联结词的研究方面，传统逻辑研究了某些联结词的逻辑性质，但对有的重要的联结词则没有研究。它虽然揭示了与联结词相关的某些有效推理形式，但却没有把关于命题联结词的研究构成一个系统的逻辑理论，也没有研究多个联结词之间的相互联系和规律。传统逻辑的这些缺陷是与其没有系统地使用符号这一缺陷相联系的。因为，要想表示一个包含多元谓词的命题的形式，就需要有谓词变元符号和个体变元符号以及表示量词的符号。传统逻辑由于不重视对关系的研究，只有主词和谓词的概念，因而也就不可能想到使用个体变元符号，也就在所用的工具和研究方法两个方面限制了自身的发展和研究水平。传统逻辑由于没有系统地使用符号，只得较多地依赖自然语言。但自然语言的许多词项是多义的或有歧义的。这样，使用自然语言不仅无法精确地表示各种逻辑形式和规律，甚至还会因自然语言的障碍而分辨不清不同的逻辑关系，如“是”这个词项，在不同的命题中可以表达不同的逻辑关系。
数理逻辑
它是现代形式逻辑。现代形式逻辑之所以在“逻辑”前面加上“数学的”这个形象词，称为数理逻辑，一方面是由于在研究中广泛地使用了人工的符号语言，并发展为使用一种形式化的公理方法，同时也应用了某些数学的工具和具体的结果；另一方面则是由于现代形式逻辑的发展受到数学基础研究的推动，特别是受到深入研究数学证明的逻辑规律和数学基础研究中提出来的逻辑问题的推动。研究方法和研究内容方面的这个特点，使得数理逻辑成为既是以研究推理规律为核心内容的逻辑，同时又具有数学的性质。数理逻辑之所以又被称为符号逻辑，是由于它使用人工的符号语言。数理逻辑的创始人是G.W.莱布尼茨。莱布尼茨提出建立“普遍的符号语言”、推理演算和思维机械化的思想。尽管莱布尼茨本人并没有实现他所提出的目标，但数理逻辑的发展却逐步（还没有全部）实现了莱布尼茨的理想。G.弗雷格在1879年发表的《概念语言》一书中，建立了第一个一阶逻辑体系。19世纪70年代，G.F.P.康托尔创立了集合论。集合论，特别是第一个一阶逻辑体系的建立，是形式逻辑的发展进入现代阶段的标志。
数理逻辑的范围有狭义的和广义的理解，大体上可分为以下 3个不同的层次：
（1）纯逻辑演算。这是最狭意义下的数理逻辑。对这狭义的数理逻辑，也还有宽狭不同的看法。较窄的看法是把纯逻辑演算视为一阶逻辑，其中包括命题演算的一阶谓词演算；较宽的看法是认为，纯逻辑演算除一阶逻辑外，还应加上二阶逻辑或高阶逻辑。一阶逻辑是传统逻辑的直接完善化，它包括并且发展了传统逻辑关于命题联结词和量词的推理形式、推理规律的研究，首先是方法的完善，具体表现为：它使用人工语言和形式化方法，完善了传统逻辑的方法；深化和发展了推理形式和规律的研究，建立起完美的理论体系；明确各个命题联结词的逻辑性质，提出了与每一个联结词相应的推理规则，系统地解决关于命题联结词的推理形式和规律的问题，还深入研究了各个联结词之间的关系和相互可定义性问题，明确地解决了从哪几个联结词可以定义出全部命题联结词，从而建立起了命题逻辑的完全的理论；在谓词逻辑方面，突破了传统逻辑只研究仅含一元谓词的命题的形式和推理规律的局限，全面研究包含一元谓词和多元谓词的命题的形式与推理规律，从而发展了关系逻辑，并建立起关于量词的完整理论。一阶逻辑是形式逻辑发展史上首次建立起来的完整的逻辑理论，它开创了形式逻辑发展的新阶段。一阶逻辑对传统逻辑的重大发展还表现在：随着一阶逻辑的创立，元逻辑的研究也逐渐展开。元逻辑是逻辑研究的全新领域，它以一阶逻辑系统本身为对象，研究一阶逻辑的几个重要的系统特征。
（2）广义理解下的数理逻辑。它包括五个部分或分支，即逻辑演算、模型论、公理集合论、递归论以及证明论与构造性数学。其中为建立和研究构造性数学所使用的构造性逻辑，是一种非经典的逻辑。在这五个部分中，逻辑演算是其他各部分的共同基础。数理逻辑这五个分支的发展，都直接或间接地受到数学基础研究的推动，与数学基础问题有密切关系。建立第一个一阶逻辑系统的弗雷格就是一位数学家，他对逻辑的兴趣来自数学理论问题。弗雷格研究逻辑的目的是要把数学建立在严格的逻辑基础上，从逻辑概念定义出数学概念，从逻辑公理推导出数学定理，即把数学归结为逻辑。集合论的公理化、证明论的提出和发展，也都直接和在19～20世纪交替之际发生的关于数学基础问题的争论有关。然而，肯定数理逻辑具有数学性质，并不排斥它在本质上仍是一门逻辑科学。数理逻辑的这五个分支是相互渗透、相互促进的。一阶逻辑的建立，就有形式系统的解释问题，即模型论问题。模型论的几个基础性定理，最初就是关于一阶逻辑的元定理。证明论以证明作为研究的对象，研究证明的规律。递归论是关于可计算性的理论，从逻辑观点看，它也是研究推理的机械性，或者说研究如何把推理机械化的问题。这是莱布尼茨最初提出建立逻辑演算时就怀有的目标和理想。公理集合论则与高阶逻辑有特殊关系，它不仅能起高阶逻辑的作用，并在一定意义上可以替代高阶逻辑。
（3）最广意义下的数理逻辑。除包括五个部分或分支外，还包括各种非经典逻辑。这实质上是把凡应用特制人工符号语言和形式化方法研究演绎推理和逻辑问题的各种逻辑理论，都包括在数理逻辑范围中。
非经典逻辑除了一阶和高阶逻辑、模型论、公理集合论、递归论以及证明论外，都是非经典的逻辑系统。非经典逻辑不同于经典逻辑。经典逻辑是二值外延逻辑，它有两个基本假定，即二值原则和外延原则。二值原则肯定每一命题或者是真的或者是假的，都以并且只以真、假二值之一为值。矛盾律和排中律反映了这一原则。外延原则肯定每个词项和命题都有所指，一个词项的所指是它指称的对象，一个命题的所指是它的真假，并且所指相同的两个词项（命题）可以相互替换。关于等词的逻辑公理和等值置换原则反映了外延原则。而非经典逻辑则不满足或不同时满足这两个原则。
从一个逻辑系统的语言方面看，有的非经典逻辑系统的语言和经典逻辑相同，但对语言或符号的解释不同。例如，经典命题演算、构造性命题逻辑、多值逻辑系统的语言都用塡、∧、∨、→这几个符号构造，但由于在不同系统中对它们的解释不同，因而各个系统的公理不同，所构造出的逻辑也不同。在这样的逻辑系统中，经典逻辑的一些规律不成立。如命题演算中的p∨塡p（排中律）在构造性逻辑、多值逻辑中都不成立。但若在构造性逻辑中加上p∨塡p，就使得原来在构造性逻辑中不成立的经典命题演算的定理都可证明，即在构造性逻辑中加上p∨塡p作为公理，就得到经典逻辑。在有的非经典逻辑系统中，外延原则不成立，因此所指相同的词项、等值的命题不能彼此替换。模态逻辑、认知逻辑、相信逻辑等都是这样的系统。例如，从“Fa”和“a=b”可以推出“Fb”，但从“甲知道 Fa” 和“a=b”，却不能通过用b代替a推出“甲知道Fb”。后一个推理关系之所以不成立，是因a、b的所指虽然相同，但涵义不一定相同，而涉及知道的涵义以及知道者的认识。因此，不能根据“a=b”，就用“b”去代替“甲知道Fa”中的a。这样的逻辑系统也称为内涵逻辑。在有些逻辑文献中，也有人把非经典逻辑称为哲理逻辑。
历史上，很早就有过对非经典逻辑的研究。早在古希腊时期，亚里士多德就研究过模态逻辑，第欧多鲁·克罗纳的著作中也包含有时态逻辑的思想。现代对非经典逻辑的研究，是从1910年以后开始的。最早提出和创立的非经典逻辑系统，是C.I.刘易斯建立的模态命题演算；波兰的J.卢卡西维茨和美国的E.L.波斯特分别于1920和1921年建立了多值逻辑。一阶逻辑的建立和发展，是研究和建立各种非经典逻辑的基础。
研究非经典逻辑的动机和背景是各不相同的，概括地说，大体有以下几种情况：
（1）由于对基本的逻辑概念和规律有不同的理解、持不同的观点，从而作不同的处理。构造性逻辑和模态逻辑，就是在这种情况下建立起来的。推动建立构造性逻辑的，是对数学存在和逻辑规律持构造性的观点。根据构造性的观点，证明存在一个具有某个性质的对象，就要求具体给出、构造出一个具有该性质的对象，或给出构造一个这样的对象的方法，而不承认用反证法所作的存在性证明。在构造性逻辑中，命题联结词塡、∧、∨和→，全称量词和存在量词，是彼此独立的，不象在经典逻辑中可以相互定义。构造性逻辑不承认排中律。推动刘易斯创立模态逻辑的，是由于对蕴涵概念有不同的看法。经典逻辑中的蕴涵是实质蕴涵。按照实质蕴涵，公式p→q只有在p取真值而q取假值时，它的值为假，而在其他情况下，p→q的值皆为真。刘易斯认为实质蕴涵没有反映出联结词“如果…那么”的逻辑性质，而提出严格蕴涵概念。按照其严格蕴涵的概念，“如果 p，那么 q” 是表示“p真并且q 假是不可能的”，这就引入了“可能”这个模态词。严格蕴涵定义为p劏q=df塡嘕(p∧塡q)，其中符号劏表示严格蕴涵，符号嘕表示可能。使用严格蕴涵建立的系统就是一种模态逻辑系统。
（2）基于对数学的兴趣或对逻辑理论的兴趣，推动非经典逻辑的建立。关于多值逻辑研究的早期情况就是这样。虽然卢卡西维茨建立第一个三值逻辑系统时，受到过亚里士多德关于未来事件的命题研究的启发，但从数学的角度看，既然有了二值逻辑系统，就可以很自然地加以推广，得到三值逻辑、四值逻辑，一般地有n值逻辑，以至得到无穷值的逻辑。因此，多值逻辑实质上就是二值逻辑的自然推广。而经典命题演算中用真假表定义命题联结词的方法，也为研究多值逻辑提供了一个方便有用的方法。应用方面的推动作用，在多值逻辑后来的发展中才体现出来。
（3）与研究自然语言中的某些不属于经典逻辑研究范围内的逻辑、半逻辑词项和语句有关。如“必然性”和“可能性”概念，“应当”、“知道”、“相信”等等，都不属于经典逻辑研究的范围。从语言的角度看，经典逻辑只研究陈述语句之间的推理关系。但在自然语言中却还有命令句、疑问句等等不同类型的语句，有的语句中则有“过去”、“现在”和“未来”等时态，它们的真假和时间因素有关。模态逻辑、时态逻辑、道义逻辑、认知逻辑（见逻辑）等等非经典的逻辑系统，就是通过对这些逻辑或半逻辑词项以及对各种非陈述句的逻辑性质和关系的研究而建立起来的。
数理逻辑还有一个重要的研究领域，即处于数理逻辑与理论计算机科学之间的关于计算复杂性的研究。在这个领域中的一个重要的问题是寻求重言式的快速判定方法，它的一个发展方向是PROLOG，即程序设计逻辑。语义学的研究对计算机科学也有重要意义，它的一个研究课题是，逻辑概念能否平移到计算机科学？数理逻辑与理论计算机科学有本质的联系。
- 参考书目
- 金岳霖：《逻辑》，生活·读书·新知三联书店，北京，1961。
- 王宪钧:《数理逻辑引论》，北京大学出版社，1982。
- 胡世华、陆钟万：《数理逻辑基础》，科学出版社，北京，1981～1982。
- 莫绍揆：《数理逻辑教程》，华中工学院出版社，武汉，1983。
- P.苏佩斯著，宋文淦等译：《逻辑导论》，中国社会科学出版社，北京，1984。