[拼音]：bianfen fangfa
[外文]：variational method
以变分学和变分原理为基础的一种近似计算方法，是解决力学和其他领域问题的有效数学工具。
变分学的研究对象17世纪末提出来的最速降线问题、短程线问题和等周问题是历史上著名的三大变分问题。泛函的极值是变分学的研究对象，其奠基人是L.欧拉、J.-L.拉格朗日、雅各布第一·伯努利和约翰第一·伯努利。
为了说明变分问题的特点，可以最小旋转面问题为例。它可表述为：“通过两个固定点(x1，y1)和(x2，y2)，可作一系列曲线y=y(x)，其中每条曲线绕x轴旋转一周都可得到一个旋转面，其面积为S；试求出使面积S为最小值的那条曲线y=y(x)。”显然，面积S取决于曲线的形式y=y(x)，即
由此可见，面积S是一个因变量，而函数y(x)是一个自变函数，因此，S是自变函数y(x)的函数：S=S[y(x)]。这种“函数的函数”在数学上叫泛函。所以，最小旋转面问题是一个泛函极值问题，这类问题就是变分学研究的内容。
变分原理变分原理实际上就是以变分形式表述的物理定律，也就是说，在所有满足一定约束条件的可能物质运动状态中，真实的运动状态应使某物理量取极值或驻值。重要的变分原理举例如下：
（1）费马原理 光线通过介质时，与一切可能路径相比，真实路径使传播时间最短。
（2）哈密顿原理 在保守、完整的力学体系中，由初态过渡到终态的一切可能运动状态中，真实的运动状态使作用函数
取驻值。这里，T和U分别为体系的动能和势能（见能），t0和t1为相应于初态和终态的时刻。
（3）最小势能原理 在弹性平衡问题中，与一切满足位移边界条件的可能位移相比，真实位移使弹性体的势能为极小值。
（4）最小余能原理 在弹性平衡问题中，与一切满足平衡微分方程与外力边界条件的可能应力相比，真实应力使弹性体的余能为极小值。
欧拉方程及其与变分问题的等价性变分问题可以化成等价的微分方程问题。例如，在固定边界的条件下，使泛函
取极值的函数满足下列微分方程：
这个微分方程通常称为欧拉方程。
欧拉方程与变分问题是等价的。它是微分方程形式与变分形式物理定律等价性的数学描述，变分原理则赋予微分方程问题与变分问题等价性以丰富的具体内容。虽然物理问题可以有两种等价的提法，但在求近似解时，从求泛函的极值或驻值出发，有时比从微分方程出发更为方便。因此，变分方法日益受到重视，并成为计算力学的重要方法之一。
历史沿革与分类变分方法大致经历了古典变分法与有限元法两个阶段，20世纪50年代以前是第一阶段。虽然30～40年代已经有有限元法的雏型，但只有当60年代高速电子计算机问世以后，才使有限元法得到迅速发展。70年代后，有限元法已从结构力学和固体力学渗透到流体力学和其他领域，这是变分方法发展的第二阶段。
（1）古典变分方法 里兹法是最常用的古典变分方法，其要点如下：首先选取一组基函数（如多项式、三角函数），它们满足变分原理中的约束条件（如最小势能原理中的位移条件），然后用基函数的线性组合来逼近问题的真解，其中待定的系数就是所求的基本未知量。这样，原来求未知函数的问题就转化为求有限个未知数的问题，原来是泛函的驻值条件则转化为多元函数的驻值条件。最后应用多元函数的驻值条件建立一组代数方程，用以确定上述的待定系数，就可得到问题的近似解。当应用于多变量函数时，待定的系数是其中某一变量的函数。此外，还可直接从微分方程出发，并用积分控制误差，使之最小。至于取基函数和逼近问题真解的方法与上述无异。这也属于变分方法的范畴，其中包括伽辽金方法、最小二乘法、配置法、加权残数法等。对于形状简单的问题，根据对问题物理性质的了解与经验，容易测知正确的基函数系，而且往往只要一、二项就可得到较准确的结果。
（2）有限元法 古典变分方法的主要困难是选取基函数。这是由于它的基函数是在全域范围内选取的，需要满足全部约束条件，这类函数往往很难寻找，特别是对于复杂形状和约束条件的情况。
有限元法是古典变分法与分片插值法相结合的产物。它不是在全域范围内选取基函数，而是先将全域分成单元，在单元范围内用低次多项式分片插值，再将它们组合起来，形成全域内的函数，用以逼近问题的真解。这样既避免了古典方法寻找基函数的困难，而且不规则剖分比差分方法具有更大的灵活性和适应性，所以应用范围极广，能计算物理和工程中的各种复杂问题。有限元法在近20年中发展迅速，已成为理论分析与工程设计的一种有效工具，这是当代计算数学的重大成就之一。