镜像法

一种计算静电场或稳定电磁场的方法。W.汤姆孙(即开尔文)于1848年提出,最先用于计算一定形状导体面附近的电荷所产生的静电场,叫做电像法;后来发展到可以计算某些稳定电磁场,现在称做镜像法。在电荷的附近出现导体面(或介质分界面)时,这些面对电场有影响。镜像法就是利用已经熟悉的静电学知识,通过在这些面的另一侧适当位置,设置适当量的假想电荷(称为电荷的像或像电荷),等效地代替实际导体上的感应电荷或电介质界面上的极化电荷,以保证场的边界条件得到满足。根据静电唯一性定理,在求解区域中,源电荷与像电荷产生的电场就是实际存在的电场。镜像法常常很简便地得到场的解析解,但只有边界面几何形状很简单的情形才可能成功地设置电像,故不是普遍适用的方法。目前,镜像法已不限于静电学范围,它已应用于计算稳恒磁场,稳恒电流场和天线的辐射场等不少重要的电磁场问题。

现用简单的例子阐明镜像法。如图1a所示,大地上方h米处有点电荷q,因为地表感应的面电荷密度N未知,所以不能用积分方法求解电场的VE。但是,由于已经知道,图1b为相距2h的正负点电荷在无限空间产生的静电场,场中通过电荷联线中点且与联线垂直的无穷平面为一零等势面,对比图1a与图1b,它们上部静电场的边界条件、点电荷q的位置及媒质的介电常数ε 都相同,根据唯一性定理,图1b静电场的上半部即图1c,就是所求大地上方的静电场。又如图2a中,两种电介质ε1ε2以无穷平面分界。点电荷q在两部分媒质中产生的静电场E1E1须分别用图2b和图2c求解。E1E1在分界面上应满足边界条件:n×(E1-E2)=0及 n·(ε1E12E2)=0,据此确定两电像的电荷为 再如图3,第一象限空间外部为μ的理想磁介质,求解与界面平行的长直线电流I产生的磁场,需要设置3个镜像电流。根据AO及BO平面上边界条件的要求n×H=0,即磁力线与表面垂直,得出镜像电流的方向都与给定的源电流方向一致。

图1 图2 图3
参考书目
  1. 冯慈璋主编:《电磁场》(电工原理Ⅱ),人民教育出版社,北京,1979。
  2. J.D.Kraus and K.R.Canver,Electromagnetics,2nd ed.,McGraw-Hill,New York,1973.