麦克斯韦方程组

[拼音]：Maikesiwei fangchengzu

[外文]：Maxwell’s equations

电磁场遵从的基本规律。1864年，J.C.麦克斯韦在前人工作的基础上，得到一组电磁场方程组，后经H.R.赫兹、O.亥维赛和H.A.洛伦兹等人的加工，得出现今形式上比较对称的方程组。

电和磁的基本定律

关于电和磁的研究，从悠久的古代(最早是在古希腊和中国)就已开始，18世纪末电池的发明为电磁学的研究提供了有效的实验手段，迅速地推动了这门学科的发展。到19世纪下半叶，电和磁的实验和理论研究已经积累了大量的、然而又是不全面的成果，迫切要求在更加普遍的观点下加以概括和总结。在当时，电磁理论正处于发生飞跃和变革的前夕。

当时已发现的电和磁的基本定律有：

（1）库仑定律，描述电荷间作用力和描述磁极间作用力；

（2）安培定律，描述电流的磁效应；

（3）法拉第电磁感应定律，线圈中的感生电动势和线圈所交连的磁通量的变化率成正比。

“超距作用”和“媒递作用”

在麦克斯韦的电磁波学说建立前，对于电磁现象的物理解释，曾经有过两种截然不同的观点。

一种是“超距作用”观点，即认为电力和磁力是超越空间而直接发生在不相接触的物体之上。由于库仑定律和安培定律所给出的电力和磁力，同万有引力定律相似，都与距离的二次方成反比，因此当时用“超距作用”的观点解释电力和磁力，是一种简单而直观的方法。“超距作用”学说也利用场的概念和方法，但仅仅把“场”看作是计算力的一种辅助手段。例如，将两电荷间存在电力的现象，设想为一个电荷在其周围空间产生电场，而存在于电场中的另一电荷则受到电场作用的力。

另一种是“媒递作用”观点。认为带电体(或磁体)之间的力，不是超越距离而作用的，而是由带电体（或磁体）之间的媒质进行传递的。M.法拉第最早提出用电力线和磁力线来描述电磁现象的概念。在法拉第看来，力线并不简单地是一种形象化的描述方式，而是一种具体的、实际存在的物理状态；沿力线有张力作用，在垂直于力线的方向则有压力作用，而电荷（或磁极）间的力正是这样一种应力系统所产生的效应。

对于静止电荷(或磁极)之间以及稳恒电流之间的作用力，超距作用和媒递作用可以等效地用来描述已知的电磁现象。随着电磁学的发展，这两种学说也都相应地有所改变或修正，以适应新的物理事实。超距学说后来也不得不承认电磁力是以有限速度传播，并且引入“推迟”的概念来描述这种现象，即所谓“推迟超距作用”。然而，在解释电磁波传播时，超距学说，即使是“推迟”超距学说，也遇到了不可克服的理论困难。因为，尽管利用了“场”的概念和方法，并且承认了“推迟”，但“超距作用”学说最终还是把电磁现象归结为电荷、电流间作用的力，并不是把场本身看成物理上实际存在的东西；换句话说，超距作用的观点是认为，场不能离开电荷、电流而独立存在。实践否定了这个观点。

实践证明，已经激发并传播出去的电磁波，即使在它的激发源消失后，仍将继续存在并向前传播。就是说，电磁场可以脱离电荷和电流而独立存在，并在一般情况下以波的形式运动；它可以与电荷、电流相互作用，但它的存在并不以电荷、电流的存在为前提。电磁场本身是物质存在的一种形态。

媒递作用学说虽然接近于物理实际，但现代物理的发展也对原始的媒递作用学说作了重大的修正，即否定了以太（原来假设的一种传递电磁作用的媒质）的存在。现代的电磁理论是一种不要求有媒质（即不以某种“媒质”的存在为前提）的“媒递作用”理论。为了避免逻辑上的含混，这种理论可以不称为媒递作用理论，而称为场的理论。理论物理的发展趋势是使超距作用学说逐步让位给场的理论。

麦克斯韦的电磁场方程组

麦克斯韦继承和发展了前人在电磁理论方面的大量工作。他用数学语言表述了法拉第的物理思想，即媒递作用和场的思想。最早用数学描述场的是高斯定理(1813)，它表明了静电场中电力线和电荷分布之间的关系。在麦克斯韦的时代，18世纪末以来关于引力场和位函数的数学理论，特别是P.S.M.拉普拉斯和S.-D.泊松的理论，已经比较成熟。现在称为斯托克斯定理的数学关系式也已有人研究。这些都成为麦克斯韦描述电磁场的理想工具。

麦克斯韦将当时已发现的电磁场基本规律归纳为四个方程。这些方程用现在的微分符号来表示，在SI单位制中可以写成：

式中D为电位移，B为磁感应强度，E)和H分别为电场和磁场强度，J为传导电流密度，ρ为自由电荷密度。式(1)就是高斯定理，它可从库仑定律推导出来。式(2)描述了没有发现孤立磁极这个物理事实。方程(3)和(4)分别为用微分形式表示的法拉第定律和安培定律。上述方程中，只要在方程式(4)右边引入位移电流项，就可推广为支配宏观电磁现象的完整的场方程组，即麦克斯韦方程组。

在不考虑各向异性的简单情况下，场方程组的三个辅助关系式可以表示为

式中ε、μ和σ分别为介电常数（或电容率）、磁导率和电导率。式(5)以电容测量为实验依据，式(6)以电感测量为实验依据，式 (7)就是以场矢量表示的欧姆定律。

位移电流

方程(1)～(4)是在不同的特殊情况下得到的；式(1)和(2)分别是静电场和静磁场的规律，式(3)和 (4)分别是似稳场和恒定场的规律。将个别的、特殊的规律发展为普遍的规律，就需要对这些特殊规律进行分析，以便提取其中带有普遍性的内容，从而推广到更广泛的范围中去，这种推广过程必然包含有一些假设。

将方程(1)、(2)直接推广到电场、磁场随时间变化的普遍情形，虽然包含有假设，但在理论上并无矛盾，和以后的实验也不相冲突。因此，可以认为这种推广是合理的。

方程(3)是从法拉第电磁感应定律导出的，但将它推广到普遍情形，就包含了一些假设。法拉第的实验是在似稳（即磁场变化不快）的条件下进行的。这里需要假设：在场随时间迅速变化的情形下，法拉第定律仍然成立。此外，麦克斯韦还引入了这样的假设：即使不存在导体回路，变化的磁场在其周围也会激发一种电场，它和静电场的共同点是对电荷有作用力，不同点是这种电场不是电荷所激发，而是由变化磁场所激发，并且描述这种场的电力线是闭合的，即所谓“涡旋电场”。以上一些假设的正确性已为后来的许多实验所证实。

至于方程(4)，将它直接推广到变化场的情形，就遇到了理论上的困难。根据矢量恒等式墷·(墷×A)=0(A为任意矢量），从方程(4)得到墷·J=0；然而，根据电荷守恒定律，墷·J=－坸ρ/坸t；在非稳恒情况，坸ρ/坸t一般不为零。为了将方程(4)推广到普遍情形，麦克斯韦引入了一个非常重要的概念，即位移电流密度，其定义为Jd=坸D/坸t， (8)将式(8)补充到式(4)右边，就得到：

　　　　　　(9)

这样，原来式(4)与电荷守恒定律之间的矛盾就得到了解决。

将电位移D对时间t的偏微分称为位移电流密度，用Jd表示，这只是一个定义问题；然而，将这个物理量引入到安培定律的微分形式方程(4)中，就意味着位移电流和传导电流一样产生磁场，这却是麦克斯韦以前所未有的一个新的概念和假设。

引入位移电流的概念是麦克斯韦对电磁理论的一项重要发展。麦克斯韦从理论上得出电磁波存在的预言和光是电磁波的论断。1887年H.R.赫兹以实验证实电磁波的存在和它的传播速度与光速相等，这就证明了麦克斯韦电磁理论和位移电流概念的正确性。

麦克斯韦方程组是电磁场的普遍方程组，它和洛伦兹力公式合起来构成说明宏观电磁现象的理论基础，即经典电动力学。

电磁理论和狭义相对论

麦克斯韦提出电磁理论的时候，物理学正被机械观统治着。麦克斯韦也企图建立一种传递电磁波的机械模型，认为电磁波依靠某种称为以太的媒质传播。按照以太理论，在相对于以太以某一速度运动的参照系中，光在各个方向的传播速度不同，麦克斯韦方程要作相应修正，即在不同参照系中电磁定律有不同形式。

相对性原理是指物理定律在不同惯性系中具有相同的形式。这样，以太理论就不符合相对性原理。后来的发展表明，以太理论关于运动参照系中光速的预言与实验事实相矛盾，从1881年起，A.A.迈克耳孙和E.W.莫雷试图测定地球上各个方向光速的差别，但得到的结果都是否定的。实验表明，光速在不同惯性参照系和不同方向上都相同。

这些矛盾直到1905年A.爱因斯坦在他的《论动体的电动力学》一文中提出了狭义相对论后才得解决。爱因斯坦作了以下的基本假设：

（1）在所有的相互作匀速运动的惯性参照系中，自然定律都具有相同的形式；

（2）在所有的相互作匀速运动的惯性参照系中，光在真空中的速度相同。在上述两条假设下，时空坐标变换就不能是伽利略变换，而必然是洛伦兹变换；在洛伦兹变换下，一切物理定律保持相同的形式。

相对论的提出是和电磁现象的深入研究密切相关的。相对论否定了绝对静止参照系的存在，使以太概念成为多余的、不符合实际的假设。它使人们认识到电磁现象有它本身所固有的规律，从而突破了机械观的限制，最终放弃了以太模型，而用一种新的观点来看待电磁场和电磁波。

电磁理论和量子理论

在20世纪以前，电磁理论及其实践不断发展，一方面它把全部宏观电磁现象（静电场、静磁场、稳定电流的磁场、准稳态电磁场或感应电场，以及电路、传输线、波导等）统一在这个理论范畴之内。另一方面，它又把电磁现象和热辐射、可见光以及紫外、X射线和γ射线等从物理本质上，即从电磁波的观点上联系起来。电磁理论的不断胜利，使得光的微粒学说不再受到注意。直到20世纪初，由于光子被发现，电磁波理论才受到量子理论的冲击。

光子的发现使人们认识到，光不仅具有波动性的一面，同时也具有颗粒性的一面。

量子理论的发展使人们认识到，不仅是光，其他频率的电磁辐射也都同时具有波动性和颗粒性。这种普遍的概念称为“波粒二象性”。对于频率低的电磁辐射，每个量子hυ的能量很小（到微波的低频端，υ=109赫，每个微波量子的能量约为4×10-6电子伏），因而，通常辐射源发射的量子，数目是巨大的，以致能量的不连续性观察不出来。这就是为什么低频的电磁辐射主要表现出波动性的一面。

波粒二象性在可见光频段表现得比较突出。当观察光的传播现象时，人们记录的是大量光子的统计平均行为，因而还可以把它当作是能量连续分布的波。但当研究光和微观物体(如原子和分子)的相互作用时，光的颗粒性又显示出来。频率更高的X射线（3×1017～5×1019赫；hυ≈1.2×103～2.1×105电子伏）和物质相互作用时所表现的颗粒性更加明显。对于γ射线，每个量子能量的量级已经高达104～108电子伏以上，这时，很容易检测出它的单个量子；另一方面，γ射线的波长已短到10-8～10-9微米的量级，以致用目前的实验手段很难发现它的波动性。

量子理论的出现并不是使电磁理论失效，而是使这种理论进一步发展，使人们更加深刻地认识到经典电磁理论只适用于宏观现象的局限性。根据量子理论中的对应原理，麦克斯韦理论是量子电动力学的经典极限。

参考书目
  1. J. C. Maxwell，A Treatise on Electricity andmagnetism，3rd ed.， Vol.1， 2， Clarendon Press，Oxford，1891.
  2. H.Hertz，Electric Waves，MacMillan， London，1900.
  3. A. Sommerfeld，Electrodynamics，Academic Press，New York，1952.
  4. J. A. Stratton，Electromagnetic Theory，McGraw-Hill，New York， London，1941.