微分动力系统

[拼音]：weifen dongli xitong

[外文]：differential dynamic system

具有可微性质的动力系统。这一常微分方程论的分支起源于有关结构稳定性的研究。常微结构稳定性这一概念，A.A.安德罗诺夫和Л.С.庞特里亚金在1937年即已提出，但二十多年后，才开始受到人们的认真注意（见动力系统）。

微分动力系统的研究后来得以日益开展还由于它吸收了泛函分析、黎曼几何学、微分拓扑学、遍历理论等数学分支的一些内容作为工具来进行大范围的分析（例如，微分拓扑中的匀断性概念在微分动力系统研究中有较广泛的运用），还由于它有较广泛而深入的应用前景。

举例

考虑一线性常微分方程组（或常微系统）

，　　　(1)

及扰动方程组

，　　　(2)

式中En表n维欧氏空间(n≥2)，A是n×n方阵，

为扰动项，对x连续地可微。当n=2 且时，的解若不在平面坐标轴上的话， 即为成族的鞍形曲线， 其相图如图1图

所示。

假如(2)的扰动项η(x)具有充分小的模

，

式中N( )表雅可比方阵的模，则将有从E2到其自身上的拓扑变换把(2)的积分曲线映至(1)的积分曲线，换言之，即(1)与(2)有相同的相图结构。

事实上，若‖η‖1＜∞，则对每一z∈E2，(2)有解墫(t，z)(-∞＜t＜∞)取初值墫(0，z)=z。置

通过简单的计算和论证即看出Δ(墫(t，z))满足(1)，且对于充分小的‖η‖1，Δ:E2→E2是拓扑变换映满E2。类似的结论对一般n也成立，即：只要A的所有特征根实部都不为0，且C1模‖η‖1充分小，即有从En到其自身上的拓扑变换把(2)的积分曲线映至(1)的积分曲线。这就是哈特曼－格罗布曼定理中所叙述的一件事实。

但有的常微分方程组(或常微系统)是很敏感的，即任何微小的扰动都不保证它的相图结构不改变，例如图2

图

中的二维球面上，左端的具有等纬轨线的常微系统扰动后成为右端的具有螺纹轨线的系统。

上面是两个简单的常微系统的例子，前者在微小C1扰动下相图结构不变，后者则不然。

常微系统及结构稳定

这里一般考虑光滑流形上的常微系统，不限于欧氏空间或其开子集上的常微分方程组。这样考虑是有理由的。例如，En×En上一C∞函数H在哈密顿系统

的每一解上取常值，而对于(-∞，∞)中一剩余稠密子集中每一点с，H-1(с)若非空，即为En×En中一余维为1的光滑子流形。这引导到考虑光滑子流形上的常微系统。

设M是一光滑流形（是一个有可数基及豪斯多夫拓扑的拓扑流形，其上有C∞微分构造）。命Tx(M)为M在x处的切空间，为M的切空间丛。M上一常微系统S是M的一个切向量场，亦即丛T(M)的一个截面：M→T(M)（对任一x∈M有S(x)∈Tx(M)）。由于T(M)也是光滑流形，就可以谈到S的连续及可微性。但微分动力系统理论中的主要成果大部分都是在C1常微系统的情况下得出的。

设S是M上一C1常微系统：若绕M上任一点处取局部坐标系，则局限在这样的坐标系上，S可表成常微分方程组，其系数函数对自变量连续地可微。根据基本的常微分方程论，在M中过每一点x都有惟一的一条称为S的轨线的曲线φt(x)（t∈一个包含O的最大区间(t憦，t憪)），满足。这些轨线，作为集合在M中彼此不相交，充满M。

在这些轨线中占有特殊地位的是奇点和周期轨线。S的奇点α（即S(α)为0向量）称为双曲的，如果S在α处(就局部坐标系来说)的雅可比方阵的所有特征根实部都不为0。设p是S过常点с的周期轨线（即φρ(с)=с对某些ρ>0），任取M中过с的一个余维为1的光滑子流形∑作为S的截痕，于是从∑中邻近于с的点出发的轨线将接着再与∑相交。这给出∑上绕с处的局部C1微分同胚。p称为双曲的，如果这微分同胚在с处的雅可比方阵所有特征根绝对值都不等于1。

在S所有轨线组成的相图中，非游荡集Ω(S)有时有很复杂的拓扑结构。因为Ω(S)由所有这样的点x∈M组成，即x的每一邻域U都有域回归性，这是说，恒有任意充分大的t使有非空的U∩φt(U)。

M上所有C1常微系统自然地作成一线性空间。

设M是一光滑黎曼流形。对任一Z∈H(M)，置

，

式中墷uZ表示Z对u取共变微商。借助‖·‖1自然地引进H(M)上一拓扑。就这拓扑来说，H(M)中的常微系统结构稳定是指，在有小扰动的情况下保持相图拓扑结构不变的这种性质，或称S∈H(M)是结构稳定的。如果存在一数ε>0使得只要Z∈H(M)且‖Z-S‖1 <ε，即有一从 M到其自身上的拓扑变换把 S的轨线映到Z的轨线。

前面举了结构稳定与非结构稳定系统的例子。显然M上所有结构稳定系统作成H(M)中一开子集。

结构稳定理论中极大部分重要成果都是在紧致光滑流形情况下得出的。下面普遍设M是紧致的。

于是对任一Z∈H(M)恒有 ‖Z‖1＜∞，且H(M)作成一巴拿赫空间以‖·‖1为模Z（据M的紧致性可看出，从M上另外的黎曼度量出发得出的这样的模是等价的）。从M的紧致性可得出，S∈H(M)过任一x∈M的轨线的定义域(t憦，t憪)恒为(-∞，∞)。于是有动力系统φt:M→M(-∞ <t<∞)。

从二维到高维

在一闭曲面M2上，C1常微系统S结构稳定的充分必要条件是：

（1）S仅有有限个数的奇点和周期轨线，这些奇点和周期轨道都是双曲的。

（2）S过每一常点с∈M2的轨线的ω-极限集Гc和α-极限集合Г婞都只能是奇点或周期轨线，但Гc和Г婞不同时都是鞍点。

M.佩克索托（1959，1962）得出这个特征性定理。在此以前，安德罗诺夫与庞特里亚金（1937）就某类平面常微分方程组叙述过同样的结论。佩克索托同时还给出一稠密性定理，即：M2上所有的结构稳定系统作成H(M2)中一稠密子集。这个结果是令人鼓舞的，因为对于H(M2)中各种常微系统所展示的许多复杂的相图，多少看到了有一点一般性的规律。

但当diтM≥3时，是否可以有类似的结论呢?S.斯梅尔曾经研究过M上一类较特殊而现在称为莫尔斯－斯梅尔系统(简称M－S系统)的常微系统(1960)。这类系统至少有一个特性是：它的非游荡集仅由有限个数的奇点和周期轨道组成。后来J.帕利斯与斯梅尔(1968)证明M－S系统是结构稳定的。闭曲面上的结构稳定系统是M－S系统。但即令当diтM=3时，M上所有的结构稳定系统可以不作成H(M)中的一个稠密子集，R.威廉斯(1968)曾经给出一个三维非稠密性的例子。另外，结构稳定系统周期轨线的个数一般也可以是无限的。60年代初期继续出现的斯梅尔马蹄及阿诺索夫微分同胚（包括托姆环面自同构），通过取扭扩都可引出具有无限多周期轨线的结构稳定的常微系统。扭扩是一个从微分同胚以得出常微系统的办法。

微分同胚与扭扩

前面已经指出，所讨论的微分动力系统，除开由常微系统所产生的对时间t连续的动力系统以外，还有由微分同胚所产生的离散动力系统。命Diff(N)为一紧致光滑流形N上所有的C1微分同胚作成的集合，赋以C1拓扑。对任给的一?∈Diff(N)，由(q，x)?q(x)给出一离散动力系统J×NN，其中J表整数群。在连续系统中所涉及的一些概念，对于离散动力系统可以平行地引进。例如，过一点x∈N有?-轨道{?q(x)|q∈J}。?叫作结构稳定的，如果?在Diff(N)中有一邻域G使得对任一g∈G存在一相应的拓扑变换ξ:N→N满足ξ?=gξ。

如上所述，有两类形式的问题。一类是有关连续系统的，另一类是离散的。两者基本上类似，但有其独特性的部分。另一方面，在有关微分动力系统的文献中也经常看到，有些重要成果先对离散系统建立，然后设法扩充至连续情况。象Z.尼太斯基在《可微动力系统》一书中总结到的研究离散系统的方法，比如巴拿赫空间中哈特曼-格罗布曼定理的应用，有代表性。若直接讨论常微系统，采用典范方程组的办法将是较方便的。

任给?∈Diff(N)。它的扭扩流形N?是商流形(-∞，∞)×N/～，其中～表等价关联(t，x)～(t+q，f-q(x))对于q∈J（图3

图

）。?的扭扩是N?上的切向量场S?，由经过商映射导出。

在此必须指出：可以这样取N?上的一个C∞微分构造，使得x(0，x)把NC∞-嵌入到N?中且得出。命φt：N?→N?(-∞，∞)为S?所产生的动力系统。则?=φ1|N。这样一来，在有些有关动力系统的问题上，扭扩提供一个把微分同胚当作常微系统的特款来考虑的途径。

双曲性、匀断性与Ω－稳定

考虑S∈H(M)及所产生的动力系统φt:M→M(- ∞<t<∞)如前。从S的C1可微性，知φt(-∞ <t<∞)也是C1可微的，故S也在M的切空间丛T(M)上导出一单参变换群（亦即一动力系统）dφt:T(M)→T（M）（- ∞<t<∞）。设Λ是M中一闭子集，在φt(-∞<t<∞)下不变。称S在Λ上有双曲构造，如果部分丛T(M)|Λ有直和分解

。

式中｛S|Λ｝由S|Λ产生，而F-及F+都在dφt（-∞<t<∞）下不变，且存在数ηΛ>0及dΛ>0，使得

例如，易看出前面提到过的S的双曲奇点α和双曲周期轨线p，也正是这里所说的，S在α和p上有双曲构造。在整个M上有双曲构造的常微系统即通常所指的阿诺索夫系统。

设S在Λ上有双曲构造，对任一x∈Λ，记

这些都是M的C1子微分流形，称为S过x的轨线的稳定流形与非稳定流形。于是可以讨论对任意的x及y∈Λ，W-(x)及W+(y)是否具有匀断相交性（M中两个子微分流形在一交点处称为匀断相交，如果在这交点处两者的切空间张成M的切空间）。

一个重要问题是:如何推广dimM=2情况下的佩克索托特征性定理，寻找dimM≥3情况下结构稳定系统的特征性质。这方面曾经有一个（原为帕利斯与斯梅尔就微分同胚产生的离散系统情况下提出的）推测。其内容为：S∈H(M)结构稳定的充要条件是①公理A：S在Ω(S)上有双曲构造，且奇点与周期轨线的并集在Ω(S)中稠密。

（2）强匀断：对任意的x及y∈Ω(S)，W-(x)与W+(y)恒匀断相交。

这条件充分性的证明虽久已由C.鲁宾孙(1954)完成，但必要性尚只在低维情况下得到验证。主要是要验证S结构稳定是否蕴涵它在Ω(S)上有双曲构造。

比结构稳定这概念稍弱一点的，有所谓Ω－稳定性。S∈H（M）将称为Ω－稳定的，如果存在一数δ>0使得， 如果Z∈H(M)且‖Z-S‖1<δ，则Ω(S)与Ω(Z)有相同的相图结构，换言之，即有一从Ω(S)到Ω(Z)上的拓扑变换把S在Ω(S)中的轨线映到Z的轨线。

若S是结构稳定的，则它也显然是Ω－稳定的。同样有一个问题：若S是Ω－稳定的，则它是否一定在Ω(S)上有双曲构造呢？对这个问题，过去只在低维情况下有肯定的答案。

扰动问题

微分动力系统研究，大致可以说，前期以稳定性问题为核心而展开。近年来，逐渐更多地涉及到一些非稳定方面的课题。这是从数学上反映了自然界中常常发生的、随时间而变导的扰动现象，因而引人注意。如1963年，E.N.洛伦茨就讨论了简化一个流体动力学方程后所得的方程组

并且对于σ=10，r=28及b)=8/3，在计算模拟上看到了一些解的混沌性。后来进一步的有关工作启示人们去建立湍流的产生机制的新设想。J.古肯凯默(1976)以及R.威廉斯(1979)定性地得出了许多三维常微系统，呈现了同样的混沌现象，这些系统不能用Ω－稳定系统去C1逼近。

如上所述，在高维情况下，由于结构稳定系统或Ω－稳定系统的非稠密性，H(M)中有些系统在发生扰动时，其相图拓扑结构可能随扰动而混杂地变动。这方面的有些规律应当是遍历性的。例如，从佩辛与D.吕埃尔的一个结果有：若S是M上一C∞常微系统且μ是在φt(-∞<t<∞)下不变的概率测度，则对几乎所有点x∈M，是M中的C∞子微分流形，这里dist(，)表M上由黎曼度量所产生的拓扑度量。这把以前有关双曲集的稳定流形的结果扩充到非双曲集情况。

考虑M上所有的结构稳定系统。它们作成H(M)中一开子集。 一映射:I=〈0，1〉→ H(M)的分岔集是。有何等性质出现的分岔集是要关心的问题。例如，从S.纽豪斯的一个结果易得出:若dimM≤3且Z0及Z1∈H(M)都满足公理A及强匀断条件，则存在一映射：I→H(M)使(0)＝Z0，(1)＝Z1且B()是有限集。总的说来，由于是H(M)中的真开子集具有无限多个连通分支， 它们如何相关联以及它们的拓扑性质如何，所知极少。

参考书目
  1. S.Smale，The Mathematics of Time，Essays on Dynamical Systems，Economic Processes，and Relat-ed Topics，Springer-Verlag，New York，1980.
  2. M.C.Irwin，Smooth Dynamical Systems， AcademicPress，London， 1980.
  3. Z.Nitecki，Differentiable Dynamics， MIT Press，Cambridge，Mass.，1971.
  4. D. Ruelle，Differentiable Dynamical Systems andthe Problem of Turbulence，Bull.AMS.(New Series)，5，pp.29～42，1981.
  5. 廖山涛:典范方程组，《数学学报》，第17期，第100～109，175～196，270～295页， 1974。