连续统假设

[拼音]：lianxutong jiashe

[外文]：continuum hypothesis

G.（F.P.）康托尔在1878年提出的关于连续统的势（即基数）的一个假设。通常称实数集（直线上点的集合）为连续统，而把连续统的势记作C。远在亚里士多德时期，即已认为没有一个无穷集比另一个无穷集大，这一观点在历史上延续两千年之久，迄至1847年G.（F.P.）康托尔证明了:任一集合A的幂集P(A)的势都大于A的势，才指明上述观点是错误的。康托尔还同时证明了：连续统的势与自然数集之幂集的势是相等的。所谓连续统问题是指：是否存在其势大于自然数集的势而又小于实数集的势的集合。G.康托尔猜测：实数集的子集除了有穷子集，可数无穷子集以及与实数集本身等势的子集外，再没有别样的子集。也就是说，康托尔猜测，实数集的一切无穷子集或者与自然数集等势或者与连续统等势。康托尔的这个猜测就称连续统假设。在有选择公理的条件下，每一个无穷集的势都是某个阿列夫，自然数集的势是堗₀，连续统的势。因此，连续统假设可以等价地表为

，

并简记为CH。

把上式等式推广到任意的势，即得所谓广义连续统假设：

（1）对任一序数；或者，

（2）对任二无穷势k，λ，若k≤λ≤2^H，则

λ=k 或者 λ=2^H，

（1）与②是等价的，均简记为GCH。

在数学研究的许多领域中，CH是不可或缺的，例如，在讨论实数子集的测度性质和拓扑性质时，其中的一个基本问题“与R不等势的子集是否测度为零?是否属于第一范畴（或第一纲）？”在没有CH的情况下，不能回答。所以，在从事这一方面的研究时，常常要附加CH作为前提。实际上CH等价于下述命题K和l的合取。

K：每一X吇R，｜X｜<，X是第一范畴集。

l：存在一l吇R，｜l｜=且l和每一无处稠密集的交都是至多可数的。

CH 也等价于命题M和S的合取。

M：每一势比小的实数子集测度为零。

S：存在一S吇R，|S|=且S和每一零测度集的交都是至多可数的。

此外，以下的每一命题都等价于CH。

P₁: 实平面可以分成两个集合X，Y，X 和每一水平线只有可数交，Y和每一垂直线只有可数交。

P₂：实平面是可数多条曲线的并。

关于实数集上的实函数论，在假定了CH的前提下，就有

C₁：存在一个从R到 R的函数ƒ，它在任一不可数的P吇R上都不连续；

C₂：存在一个ƒ:R→R，和一个P吇R，｜P｜=，ƒ在P上连续，但在P 的任一不可数子集上，ƒ都不一致连续。

尽管CH在数学研究的许多领域中作用显著，但在纯粹的集合论研究中却作用不大。例如对于势的幂运算的简化， CH就难以为力。所以人们才又进一步考虑了GCH，利用GCH可以将势的幂运算简化如下：

连续统问题在D.希尔伯特1900年提出的《数学问题》中位居第一（见希尔伯特数学问题）。包括希尔伯特在内的许多名家都曾致力于这一著名难题的研究，虽历经艰苦奋斗，但在相当长的一段时期内，没有进展。因而促使人们怀疑这一问题在数学的现状下是无法解决的。

直到1938年，K.哥德尔证得了GCH（因而CH）相对于ZF系统的协调性，即：若ZF系统是协调的，则在ZFC系统中，GCH的否定是不可证明的。1963年，P.J.科恩又证明了CH（因而GCH）相对于ZF系统的独立性，即：若ZF系统是协调的，则在ZFC系统中，CH是不可证明的。综上所述，即得：在ZF系统中，CH是不可判定的。（见集合论公理系统）

哥德尔和科恩的成果被誉为20世纪数学基础研究中的两个重大成就。科恩创立的力迫方法已在集合论中得到广泛的应用。运用这一方法，人们已经证明了一大批数学命题的独立性。

由于ZFC系统无法决定连续统问题，甚至附加直观上可靠的大基数公理（例如可测基数存在公理）仍然无法推出CH，因而包括哥德尔在内的一些数学家认为CH不可信，想用一代新的公理来取代CH。在这一方面，由D.A.马丁等人在1970年提出的马丁公理是最佳的选择，它与力迫法相辅相成，结合着发展，最后得到一条马丁极大原理，它有着广泛的应用，目前尚在进一步的研究中。

参考书目

1. Seirpinski，H yhothese Du Continu，2nd ed.，Chelsea， New York， 1956.