[拼音]：shishu
[外文]：real number
包括有理数（零与正负整数，正负分数）和无理数。人们在长期实践中理解了有理数的四则运算及次序关系，不过对它们的公理化描述直到19世纪末和20世纪初才完成（见数系）。用现代语言来描述，可以说，有理数构成有序的阿基米德域Q。
首先，Q是一个域，即在其中可进行四则运算（0作除数除外），而且对于这些运算，以下的运算律成立（α，b，с等都表示任意的有理数）：
（1）加法的交换律 α+b=b)+α；
（2）加法的结合律 α+b+с=(α+b)+с；
（3）存在数0，使0+α=α+0=α；
（4）对任意有理数α，存在一个加法逆元，记作-α，使α+(-α)=(-α)+α=0；
（5）乘法的交换律和结合律 αb)=bα，α(b)с)=(αb)с；
（6）分配律 α(b+с)=αb+αс；
（7）存在乘法的单位元 1≠0，使得对任意有理数α11α=α1=α；
（8）对于不为0的有理数α，存在乘法逆元α-1，使αα-1=α-1α=1。
其次，Q是有序域，即存在一个次序关系≤，使对于一切有理数α和b)，α≤b)与b≤α中至少有一个成立，而且对一切α，b)，с∈Q：
（1）由α≤b)，b≤с可得α≤с；
（2）由α≤b)，b≤α可得α=b)；
（3）由α≤b可得α+с≤b)+с；
（4）由0≤α，0≤b可得0≤αb。
此外，对每个α∈Q，必存在一数记作|α|(│α│≥0)，使对任何α≥0，│α│=α；对任何α<0，|α|=-α，│α│称为α的绝对值。
再有，Q是阿基米德域，即对有理数α和b，α≥0，b>0，必可找到一个自然数n，使nb>α。由此可知，不存在最大的正有理数；因为对任一正有理数α，取b=1，必存在自然数n使n＝n·1>α。也不存在最小的正有理数，因为对任意0<α有
，从而一定有自然数n使
，亦即
。
有理数域虽然有如上丰富的性质，但用它不足以刻画一切几何量，也就是说，如果选定一个线段以其长作为单位，则并非一切线段的长都是有理数。早在古希腊时代就发现，正方形的对角线与边长之比
不是有理数。因此直线上之点的集合不能与Q一一对应。这就使解析几何以至整个数学分析的基础产生了问题。这个情况可以用以下几个命题之一表述。
（1）有理数的上（下）有界集不一定以某个有理数为上（下）确界。A嶅Q的上确界是这样一个数α:它是A的一个上界，即α≥A中一切数，但任取α┡<α，α┡必非上界，即A中至少有一个元α，使α>α┡。
（2）单调有界的有理数序列不一定以某个有理数为极限。
（3）有理数的柯西序列（即一个序列{αn}αn∈Q，而且对任意的有理数ε>0，必存在N＝N（ε），当m，n>N时，｜αm-αn｜ <ε不一定收敛于一个有理数。< p>
这些情况可以概括为Q不是连续统。这一事实对数系的应用带来很大不便。为了克服这个困难，有必要系统地对有理数系Q补充新数即无理数，使得扩充后的新的数系即实数系R没有以上的问题，但是仍为有序的阿基米德域。这个工作在19世纪中叶以几种不同的方式完成了。
一种方式是由J.W.R.戴德金提出的。
戴德金实数理论戴德金在其《连续性与无理数》(1872)一文中生动地描绘了当时微积分面临的困难，并且指出，摆脱困境的出路在于使几何算术化。他的出发点是Q的次序性。例如作为一个数其特征是大于一切非正有理数及一切适合α2<2的正有理数α而小于一切适合α2>2的正有理数。其实，每个有理数α都有类似的性质，它将Q分为两个非空的子集：
，
，
，
，Q1称为下类，Q2称为上类。这里可将α归入Q1而为其中最大元，也可将α归入Q2而为其中最小元。这样得出的有理数分划记作Q1|Q2，它是由α生成的。
戴德金将此普遍化。他考察了有理数集Q的一切分划，Q1|Q2:Q1，Q2非空，Q＝Q1∪Q2，Q1∩Q2=═，而且Q1中的一切元均小于Q2中的一切元。这时可以分为两种情况。
（1）Q1有最大元而Q2无最小元（若Q2有最小元但Q1无最大元，则规定将此元移入Q1）， 这时就说Q1|Q2定义了α。反过来，如上所述，每个有理数α也都产生这种类型的有理数分划。因此，若记这类有理数分划的集合为
，则与Q一一对应，且称中的元就“是”有理数。
（2）Q1中没有最大元，Q2中也没有最小元。记这类分划之集合为I，称I中的元定义无理数。
不会发生Q1有最大元α，Q2也有最小元b)的情况。因为若α=b)，则将与Q1∩Q2=═矛盾，若α<b)，则将得到
，
从而
Q1∪Q2≠Q。
实数集即一切有理数分划之集合
。
在这样定义的实数集合中也可定义四则运算。例如对于两个实数（也就是有理数集的两个分划）
，定义
，这里
，它也是有理数集的一个分划，因而也是一个实数。易证R也适合Q是一个域的性质。又若Q1嶅Q姈，定义α≤β，可证R适合上述Q是有序域的性质。同样也可证R适合Q是阿基米德域的性质。因此R也是一个有序的阿基米德域。
实数系是有理数系的一个扩张，或者说实数系包含了有理数系，同时还包含其他的元，例如
。准确地说，R中包含一个与Q同构的真子集
(I非空：因为令
，
，则Q1｜Q2是一个实数，但不在
中，即为无理数，它就是
)，所以说R是Q的一个扩张。R还有以下两个性质：
（1）
在R中稠密，这里所谓稠密性即指：对α，β∈R，而且α<β，必有一个x∈，使α<x<β。
（2）R中任一上（下）有界集必有上（下）确界。但这个确界不一定是有理数。
实数系是惟一的，即若Q有两个扩张R与R1同为有序阿基米德域且都适合①，②，则R与R1同构，即实质上相同。
康托尔实数理论G.（F.P.）康托尔与H.C.R.梅雷从完备性着眼提出定义实数的另一种作法。例如
可以用有理数序列{1，1.4，1.41，1.414，…}去逼近。 因为这个序列是有理数的柯西序列。所以想到是否可以用有理数的柯西序列来定义实数。但还可以用另外的有理数柯西序列如{2，1.5，1.42，1.415，…}来定义。 因此必须在有理数柯西序列的集合中引入等价关系：有理数柯西序列{αn}与{αń}当
时称为等价的，记作{αn}～{αń}。每一个有理数柯西序列的这样的等价类定义为一个实数。这样定义的实数集记作R1。Q中所有的α均可用一个特殊的柯西序列（常值序列）{α，α，…}来逼近。包含常值序列的等价类（每一个这种等价类只能含一个常值序列{α，α，…}）称为有理数α，记其集合为
1;不包含常值序列的等价类称为无理数，记其集合为I1。显然
。
R1中也能定义四则运算与次序关系，它与R一样是有序的阿基米德域，而且适合
（1）R1有一个与Q同构的稠密的真子集
1，
（2）R1中一切柯西序列都有极限在R1中。
R1在同构意义下也是惟一的。又因为性质②与R的性质②是等价的，即互相蕴涵，所以R与R1也是同构的，即这两种作法所得的结果是相同的。
实数系的完备性实数系是否还可以进一步扩张，这是很自然会想到的问题。
首先，它可以在引入一个理想元素即方程x2+1=0的根以后而扩张为复数系。但是这时必须放弃次序性，即前述的关于Q是有序域的性质（见复数）。
其次，因为R是阿基米德域，所以和Q一样，在R中不会有最大的正数（即正无穷大）和最小的正数（即正无穷小），但也可以引入正的无穷小这样的理想元素而得到非标准的模型，但是这时将破坏阿基米德域性质（见非标准分析）。
至于在R中再作分划或再作柯西序列，都不会再得到新的数。R的元与直线上的点可以一一对应，在这个意义下，称R具有完备性，也因此称R为连续统。
R与Q的性质有很大的区别。Q中有无限多个元，但是Q是一个可数无限集。可以把Q中之元写成既约分数p/q，q>0而将正有理数排列成下表。 然后按上述的箭头次序将它们排列起来（遇见重复的即行删去），此时一切正有理数就写成了一个序列。所以正有理数集合是可数的；整个有理数系Q也是可数的。但是可以证明R是不可数的。这样在数学史上第一次遇到了各种不同的无限，从而就引导G.康托尔提出了基数的理论。
前面已经说过，戴德金提出无理数理论是为了克服作为微积分基础的连续性概念中的巨大困难。在完成了实数理论以后，R的连续性就有丰富的内容。可以完全严格地证明以下的结果。
（1）上（下）有界的实数集， 必有一个实数为其上（下）确界，亦即上、下确界定理。
（2）实数的每个柯西序列都有惟一的实数极限，亦即柯西收敛原理。
（3）一切单调有界实数序列都有实数极限。
（4）作实数区间套序列即一串实数闭区间{[αn，bn]}使得对于一切n，
，
而且b)n-αn→0，则必有惟一实数α 含于所有[αn，bn]中
，
亦即区间套原理。
这几个定理是等价的。此外还有两个等价的定理：
（5）在无限有界闭集A嶅R中， 必可选出一个序列{αn}嶅A，使αj≠αj(i≠j)，而
存在于A中，亦即波尔查诺－外尔斯特拉斯定理（R的列紧性）。
（6）设A嶅R为有界闭集，对任一α∈A，任作一个开区间IαЭα，则在
中必可选出有限多个I1，I2，…，In覆盖A，即
，亦即海涅－波莱尔定理或有限覆盖定理（R的紧性）。
这些性质都反映了R的连续性质。R的连续性内容十分丰富。20世纪以来，对连续性的研究成了一个巨大分支拓扑学的研究主题。从这个观点来看，R是数学史上第一个被了解得较充分的拓扑空间，而以上的定理都是以拓扑空间中更原始的概念为基础的。