[拼音]：daishu hanshuyu
[外文]：field of algebraic function
一个域上的n(n≥1)元有理函数域的有限扩张。设K是一个在任意域F上经添加有限个元素x1，…，xn，xn+1，…，xs所生成的域，其中x1，…，xn(n≥1)在F上是代数独立的；xn+1，…，xs关于F(x1，…，xn)是代数元，则称K是以F为系数域的n元代数函数域。当n=1时，简称K为F上的代数函数域，记作K/F。K中所有关于F的代数元成一个子域F┡，称之为K/F的常量域。为了方便起见，以下设F本身就是K/F的常量域。
公式
其中αp是整数，而且只有有限多个不为零;p取遍K/F的所有素除子。这种α称为K/F的除子。如果每个αp都不是负整数，那么α就称为整除子。对于两个除子和
规定:α=b，当且仅当对每个p都有αp=bp；规定乘法运算为
；除子
记为α-1。若α-1b是一整除子，则称α除尽b，记作α｜b。
公式
的次数为
于是有d(α-1)=-d(α)以及d(αb)=d(α)+d(b)。
对于K中不为零的α，规范化的指数赋值vp（α）=mp是整数，且只有有限多个p有mp≠0，从而可作出除子
设α是任一除子。子集L(α)=｛α∈K｜α=0，或者α|(α)｝形成F上的一个有限维空间，它的维数，记为l(α)。当α遍取K/F中所有的除子时，整数集{l(α)+d(α)}是有下界的。令
由此确定的非负整数g是代数函数域的一个重要不变量，称为K/F的亏格。虽然是B.黎曼首先明确提出并命名它为亏格的，但是早在N.H.阿贝尔的著作中就已经出现过。
公式
并以dt记向量
其中每个分量是对不同的素除子p来取的，因此dt是个无限向量。对于K中每个u，规定
并称之为K的微分。当u≠0时，总有
于是
是整数，且只有有限多个不为零，由此定出一个除子
若对某个除子b有b│(udt)，则称udt被b除尽。K中所有被b除尽的微分（包括0），组成F上一个有限维空间，它与t、π的选择无关，它的维数记作δ(b)。
黎曼-罗赫定理 对于代数函数域K/F的任何一个除子α，恒有等式l(α)=d(α-1)-g+1+δ(α-1)成立。
公式
亏格为1的代数函数域称为椭圆域。特别在F为复数域C时，以复数α、b（α/b不是实数）为周期的椭圆函数组成一个域K，作为C上的代数函数域而论，它的亏格等于1。
在历史上曾企图把形如
的积分用有限的形式表出，于是引起对代数函数域的研究，这里φ(x，y)是含x、y的有理式；y与x满足一个整关系式?(x，y)＝0。代数函数的理论，历来就有几种不同的描述方法，其中之一属于“算术-代数”这一方向，即所谓代数函数域。它始于19世纪80年代R.戴德金和H.韦伯的工作。自20世纪以来，随着抽象代数学的发展，戴德金和韦伯的理论，先后经E.诺特、 H.哈塞、F.K.施密特和 A.韦伊以及其他学者的逐步简化和推广，对域F的限制得以逐步解除，使这一理论的许多内容包括黎曼-罗赫定理，可以在F为任意域的情况下来建立。
- 参考书目
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- C.Chevalley，Introduction to the Theory of Algebraic functions of one variable， Amer. Math.Soc.，New York，1951.
- E.Artin，Algebraic Numbers and Algebraic Functions，Grodon and Breach，New York，1967.