行列式_自然百科

[拼音]：hanglieshi

[外文]：determinant

重要的数学概念和工具之一。它来源于求解线性方程组。由n²个元素（数）α_ij(i，j=1，2，…，n)排成n行n列并写成

(1)的形式，它表示所有符合以下条件的项的代数和：

（1）每项是n个元素的乘积，这n个元素是从(1)中每行取一个元素、每列取一个元素组成的，可记为

，式中p₁，p₂，…，p_n是1，2，…，n的一个排列。

（2）每项应带正号或负号，以1，2，…，n的顺序为标准来比较排列(p₁p₂…p_n)的逆序数是偶或奇而决定。例如三阶行列式中的项 α₁₂α₂₃α₃₁排列(231)有2个逆序，即2在1之前；3在1之前，所以α₁₂α₂₃α₃₁应带正号；而α₁₂α₂₁α₃₃中(213)的逆序为1，因为这时只有2在 1之前，所以应带负号。

(1)称为n阶行列式，有时简记为｜α_ij｜，其中α_ij称为第i行第j列上的元素或元;当i=j时即α_ii，称为主对角线(α₁₁α₂₂…α_nn)上的元。

因为n个元的所有排列共有n！个，所以｜α_ij｜共有n！个项。由此可知，

式中是对1，2，…，n的所有排列取和，±符号按上述规则确定。例如，

行列式有多种定义方式，实质上不同的大致有三类：除上述的完全展开式定义外，常见的还有归纳定义和公理化定义等。

行列式的基本性质

任一行列式都有以下性质：

（1）行列式A中某行(或列)用同一数k乘，其结果等于kA。

（2）行列式A等于其转置行列式A^T(A^T的第i行为A的第i列)。

（3）若n阶行列式|α_ij|中某行 (或列) 则｜α_ij｜是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列)，一个是b₁，b₂，…，b_n；另一个是с₁，с₂，…，с_n；其余各行（或列）上的元与｜α_ij｜的完全一样。

（4）行列式A中两行（或列）互换，其结果等于-A。

（5）把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。

行列式的计算

简单的行列式根据定义或基本性质容易计算。一般方法是把它按行（或列）展开化为低阶行列式来计算。如n阶行列式A按第i行（或列）展开：

式中是从|α_ij|中划去第i 行和第j列后得到的行列式即n-1阶子式，称为α_ij的余子式；A_ij称为α_ij的代数余子式。在上式中把 A_it(或A_ti)换成A_jt(或A_tj)，i≠j，即第i行(或列)中各元与第j行（或列）中各元的代数余子式相乘，其结果为零。以上结果可综合写成：

式中δ是克罗内克符号。δ 表示当i=j时，δ_ij=1，i≠j时，δ_ij＝0。

上面是按某一行(或列)展开，还可以按某几行（或列）展开。在n阶行列式A中取定某k(1≤k≤n)个行（或列），则在这k个行(或列)中的所有k阶子式分别与它的代数余子式的乘积的和为A。这就是拉普拉斯展开式。它由a.-l.柯西于1812年首先证明。

k阶子式的代数余子式是上述 1阶子式α_ij的代数余子式A_ij的推广。设N是从n阶行列式A中划去(n-k)个行和(n-k)个列得到的k阶子式，M是从A中划去N所在的行和所在的列得到的（n-k）阶子式，则M称为N的余子式。如果N 所在的行是i₁，i₂，…，i_k，所在的列分别是j₁，j₂，…，j_k，那么称为N 的代数余子式。A自身的余子式规定为1，所以A的代数余子式也是1。若子式N 所在行的序数与所在列的序数相同，则N 称为主子式。