仿射变换

[拼音]：fangshe bianhuan

[外文]：affine transformations

仿射平面（或空间）到自身的一类变换，最重要的性质是保持点的共线性（或共面性）以及保持直线的平行性。作为最常见的例子，首先引进两平面间的平行投影，设已知两平面π与π┡，d是与两平面都不平行的向量，过平面 π上各点A、B、C、…分别作与d平行的直线交π┡于A┡、B┡、C┡、…，于是π与π┡各点间存在着一一对应的关系，这项对应关系叫做π 到π┡的平行投影。A与A┡，B与B┡，C与C┡…为平行投影下的对应点，显见平行投影与 d有关。两平面间的平行投影具有以下重要性质:点变点；直线变直线；点与直线的结合关系不变。共线三点的简比不变，即

其中A┡、B┡、C┡分别是共线三点A、B、C的对应点，平面π上的两条平行线，对应着平面π┡上的两条直线，也是平行的（图1

）。当把π经过一系列平行投影，最后仍变到π本身的一一变换，就是一个仿影变换。在此情况下，上述性质也是保留的。将平行投影的概念加以推广，即得到下面的重要概念。

两平面间的一一对应，如满足共线三点的对应点仍是共线三点；则此一一对应，叫仿射对应。如果两平面重合，就叫平面到它本身的仿射变换。因为仿射变换之积，仍是仿射变换；任一个仿射变换的逆，仍是仿射变换，故平面内所有仿射变换的集合成群(见变换群)，叫做仿射变换群。它是射影变换群的子群。类似地可定义空间的仿射变换及仿射变换群。

仿射性质与仿射不变量

按照依变换群将几何学分类的观点，图形在仿射变换群下的不变性质和不变的量叫做仿射性质和仿射不变量。研究图形仿射性质的几何分支就称为仿射几何学。例如同素性（点变成点，直线变成直线）、结合性（点在线上或直线通过点）都是基本的仿射不变性，简比则是基本的仿射不变量。而且还可推出，二直线的平行性、平行线段的比、封闭图形面积的比等，都是在仿射变换下不变的。又如关于二次曲线的中心、直径及共轭径等，都是平面仿射几何的研究对象，因为它们都是仿射性质。

仿射坐标系

见坐标系。

仿射变换的代数表示

设给定平面上一个仿射坐标系{O;e₁，e₂}，仿射变换将点P变为点P┡，并将坐标系{O；e₁，e₂}变为坐标系{O┡;e姈，e娦} (图2

)。若令 则e₁，e₂；e姈，e娦分别为新旧两坐标轴上的坐标向量。设P，P┡，e姈，e娦，O┡在{O;e₁，e₂}下的坐标，分别是P(x，y)，P┡(x┡，y′)，e姈(α₁₁，α₂₁)，e娦(α₁₂，α₂₂)，O┡(α₁₃，α₂₃)，如果要求出P与P┡坐标间的关系。由于仿射变换保持平行性，故O┡PP┡P仍为平行四边形，又由于仿射变换保持简比不变，所以P┡在{O┡;e姈，e娦}下的坐标仍为(x，y)。根据向量的加法及向量的坐标表达，则有：

又

比较以上二式，得

　　　　 　(1)

由于e姈，e娦不平行，故又有

　　　　 　(2)

满足(2)的(1)式，就是仿射变换的代数表示式。利用仿射变换的代数表示，对问题的解决将有很大的方便，同时也便于将它推广到高维空间。