[拼音]：Fuliye bianhuan
[外文]：Fourier transform
(1)
称为?的傅里叶积分。周期函数在一定条件下可以展成傅里叶级数，而在(－∞，∞)上定义的非周期函数?，显然不能用三角级数来表示。但是J.-B.-J.傅里叶建议把?表示成所谓傅里叶积分的方法。 设?(x)是(-l，l)上定义的可积函数，那么在一定条件下，?(x)可以用如下的傅里叶级数来表示：
(x∈(-Л， Л))， (2)
式中
。 (3)
把(3)代入(2)，即有
式中un＝nπ/l(n=1，2，…)；
。当l→∞时，上式第一项趋于0，级数换成积分，因此形式上就成为
。 (4)
这就是傅里叶积分的直观推导。记号～表示右方的积分是从?得来的，它并不意味着右方积分收敛，即使收敛，也未必等于?(x)。
傅里叶积分的收敛判别法
类似于傅里叶级数，相应的收敛判别法也有多种。为了简单起见，假定?是连续的。 ① 迪尼判别法 假如对于某个h>0，积分
，
那么?的傅里叶积分(1)在点x收敛于?(x)。
（2）狄利克雷-若尔当判别法 如果函数?在含有点x的某区间，例如(x-h，x+h)上分段单调，则?的傅里叶积分在点x收敛于?(x)。
傅里叶积分的复数形式
傅里叶积分(1)中的内层积分
是u的偶函数，所以(4)式可以形式地写成
。 (5)
另一方面，积分
是u的奇函数，所以形式上，积分
， (6)
合并(5)与(6)，利用公式eiθ=cosθ＋isinθ，即得
(7)
最后的积分称为?的傅里叶积分的复数形式。
傅里叶变换与傅里叶逆变换
(7)中内层积分
， (8)
称为?的傅里叶变换，记为弮(u)。在一些书中，积分前面的因子
用
代替，相应地，下面的逆变换积分前面应添加因子
。以上都假定了函数?∈l1(-∞，∞)，所以(8)中的积分是存在的。进一步可以证明，?的傅里叶变换弮(u)是u的连续函数;当u→±∞时，弮(u)→0；此外，若弮(u∈l1(-∞，∞)，则几乎处处成立下面的逆转关系：
。 (9)
上式称为弮(u)的傅里叶逆变换。例如
的傅里叶变换弮(u)等于
;而弮(u)的傅里叶逆变换是
。
L2（－∞，∞）中函数的傅里叶变换
对于?(x∈l2(-∞，∞)，(8)中积分未必收敛，由(8)定义的傅里叶变换可能不存在。因此，对由(8)定义的傅里叶变换需要从另一种意义上去理解。可以证明，函数
，
当l→＋∞时在空间l2(-∞，∞)内按范数收敛于某函数F(x∈l2(-∞，∞)，即
。 (10)
这样所得的F(x)，称为?的傅里叶变换，也记作F(x)=弮(x)。此外，还可以证明，以下的关系成立：
。 (11)，
上述结果，即为普朗歇尔定理，(11)式相应于傅里叶级数论中的帕舍伐尔等式。
佩利-维纳定理
假如?∈l2(-∞，∞)，并且?(x)=0 (｜x｜>σ)，那么?的傅里叶变换为
。
把上式积分中的x换成复变数z(z=x+iy)，即得复平面上定义的函数F(z)：
。 (12)
可以证明F（z）是复平面上的解析函数。此外，由于?∈l2(-σ，σ)，可得估计
这就是说，(12)定义的F(z)是一个指数σ型的整函数。下面的佩利-维纳定理则说明逆命题也成立： 设σ>0，F(x∈l2(-∞，∞)，那么F(x)为l2(-∞，∞)中以(－σ，σ)为支集的某函数?(t)的傅里叶变换的充分且必要的条件是，F(x)为指数σ型整函数F(x+iy)在x轴上的限制。
多元傅里叶变换
设
为m维欧几里得空间Rm上的l可积函数，即?∈l(Rm)，那么称函数
为?的傅里叶变换，记作弮(x)。假如?(x∈l2(Rm)，那么同样可以证明，“截断”积分
，
当K趋于无穷时，在空间l2(Rm) 中按范数收敛于某函数
。F(x)就称为?的傅里叶变换。类似于一元的情形，成立着普朗歇尔定理。
以傅里叶变换为工具，研究函数的许多性质，是傅里叶分析的主要内容。傅里叶变换在数学、物理以及工程技术中都有重要的应用。
- 参考书目
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- E.M.Stein and G.Weiss，Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces，Princeton Univ.Press，Princeton，1971.