摄动方法

[拼音]：shedong fangfa

[外文]：perturbation method

把系统视为理想模型的参数或结构作了微小扰动的结果来研究其运动过程的数学方法。这种方法最早应用于天体力学，用来计算小天体对大天体运动的影响，后来广泛应用于物理学和力学的理论研究。摄动方法作为一般的数学方法，也是控制理论研究中的一种工具。摄动方法的基本思路是：如果一个系统Sε中包含有一个难以精确确定或作缓慢变化的参数ε，就可以令 ε＝0，使系统Sε退化为s0，而把Sε看作是s0受到（由于ε≠0而引起的）摄动而形成的受扰系统。问题因而化成为在求解S0的基础上来找出系统Sε的运动表达式。这样做往往能达到简化数学处理的目的。摄动方法所提供的系统Sε的运动Γε的形式是s的幂级数（可能包含负幂次项），级数的各项系数是有关变量（时间、状态变量等）的函数。如果在这些变量的容许变化范围内，当ε趋于零时，Γε的表达式一致地（均匀地）趋于S0的运动表达式Γ0,就称表达式Γε为一致有效的。

摄动问题可分为正则摄动和奇异摄动两类形式。如果令 ε＝0，Γε的表达式可化为Γ0，而且是一致有效的，就称这个摄动问题是正则摄动问题。如果在Sε中令ε＝0会导致问题无解或多解，或者虽然当ε＝0时Sε能化为s0并有解Γ0，但表达式Γε不一致有效，则称这个摄动问题为奇异摄动问题。正则摄动问题比较简单，也易于处理。常用的方法有幂级数展开法（不包含ε的负幂次）、参数微分法、迭代法等。奇异摄动问题则复杂得多，当ε 趋于0时系统Sε的行为或结构往往发生本质的或剧烈的改变，出现各种复杂的现象。奇异摄动问题的研究已发展为控制理论的一个重要分支。其中常用的方法有伸缩坐标法、匹配渐近展开法、复合展开法、参数变易法、平均法、多重尺度法等。

对于弱非线性系统，若把非线性部分看作是对线性部分的摄动，常能用摄动方法（这种情况常称为小参数法）得到相当好的结果。奇异摄动理论与分岔理论、突变论等也有比较密切的关系。

参考书目
  1. M.Vidyasagar,Nonlinear Systems Analysis,Prentice-Hall,Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1978.
  2. R.E.O'Malley,Introduction to Singular Perturbations, Academic Press, New York, 1974.