常微分方程初值问题

[拼音]：changweifen fangcheng chuzhi wenti

[外文]：initial value problem of ordinary differential equation

求常微分方程

　　　(1)

满足初值条件

　　　(2)

的解的问题。其中，x属于n维欧几里得空间Rⁿ，ƒ是由Rⁿ⁺¹中的开域G到Rⁿ的映射。n=1时，(1)、(2)表示纯量方程；n≥2时，它们表示向量方程。常微分方程初值问题包括以下的问题：初值问题(1)＋(2)是否有解；解是否惟一；解的存在区间有多大；当初值(t₀，x⁰)变化时，解如何变化；当方程(1)的右端函数ƒ添进参数λ，即方程(1)变为时，解同参数λ有何依赖关系；等等。初值问题是A.-L.柯西于19世纪30年代首先提出的，所以又叫柯西问题。在这之前，求解常微分方程是企图求其通解，但能够求出通解的只是一些特殊的方程，而在力学和物理学中出现的大多数方程都无法求出通解。柯西从另一种观点考虑，提出了初值问题，并采用优函数方法，在函数ƒ(t，x)于点(t₀，x⁰)的某个邻域里解析的条件下第一次证明了初值问题 (1)+(2)的解析解的存在惟一性。所谓优函数是指：若ƒ(t，x)、F(t，x)均在点(t₀，x⁰)的某一邻域内解析，设

且满足条件α_mn>0，|α_mn|<α_mn，则F(t， x)称为ƒ(t，x)的优函数，记为ƒ<<F。此后，又在函数ƒ连续可微的假设下证明了初值问题解的存在性。

为简单起见，以下没有特别指明之处，都是对n=1的情况而言的，但所有结论对一般的n都成立。

解的定义

常微分方程解的定义甚多，不同意义下的解，初值问题的结果不同。最常见的是所谓牛顿解或称经典解。若函数 φ(t)在某个区间I上有定义且连续可微；当t∈I时(t，φ(t))∈G；且在I上满足方程(1)，即：t∈I，则称φ(t)是方程(1)的一个牛顿解或经典解，简称为(1)的解。其他意义下的解是其推广。

解的存在性

初值问题(1)+(2)并非都有解存在。例如，初值问题的解就不存在。甚至有的方程在它右端函数定义域上的任何一点都无解存在。例如方程 其中当x为无理数时ƒ(x)=0，当x为有理数时 ƒ(x)=1，就是如此。初值问题有解存在的基本定理是柯西-皮亚诺存在定理:若ƒ(t，x)在矩形域R(│t-t₀│≤α│x-x⁰│≤b)上连续，则初值问题(1)+（2）在区间│t-t₀│≤h上至少存在一个解x(t)。在这里，，（图1）。

从点(t₀，x⁰)向左右两边作欧拉折线序列{x_m(t)}：

　 (3)

(3)由阿斯科利-阿尔泽拉引理（一个在闭区间[α，b]上一致有界且同等连续的无穷函数序列，必可从中选取一个在此区间上一致收敛的子序列）可以证明此序列存在一致收敛的子序列，它于|t-t₀|≤h上收敛于初值问题的解，从而可以证明上述存在定理。这个定理也可以用绍德尔不动点定理给以证明。值得指出，上述欧拉折线公式(3)是常微分方程数值解法的基本公式之一。

解的开拓性

柯西－皮亚诺存在定理描述的是解在t₀附近的一个区间上的存在性，因而是一个局部性的定理。若 ƒ（t，x）在某一平面有界区域 G上连续，G 可能很大，这时，可以用如下方法把在小区间上有定义的解开拓到较大的区间上去。适当地选取 α₀、b₀> 0，作

使R₀嶅G，则过点（t₀，x⁰）至少有方程（1）的一个解x（t）在区间│t-t₀│≤h₀上存在。其中 令显然，则又可适当地选取α₁b₁>0，作R₁:使于是可向右边开拓到区间 t₁≤t≤t₁+h₁上(见图2

)。如此继续下去，可一直开拓到G的边界嬠G的任何邻近。同样，也可将解 x(t)从点(t₀-h₀，x(t₀-h₀))向左边开拓。如此经开拓而得的解称为方程(1)过点(t₀，x⁰)的饱和解。饱和解的定义区间称为解的最大存在区间;它必为开区间。综上所述有开拓定理:设ƒ(t，x)在平面有界开域G上连续，设x(t)为(1)的任一解（或积分曲线），其最大存在区间为(с，d)，则必有

式中ρ((t，x(t))，嬠G)表示点(t，x(t))到G的边界嬠G的距离。即，只要ƒ在G上连续，则方程(1)过G中任一点的积分曲线必可延至与边界嬠G无限接近。

当G无界时，G上的积分曲线或是开拓到无限接近G的境界线，或者趋向无穷远。但在接近于G的境界线时，可能是振动的。事实上，不管G是有界还是无界，如果将G的无穷远处也理解为其边界，那么方程(1)过G中任一点的积分曲线必可开拓到G的边界。因此，下面的结论总是成立的：

设x(t)的最大存在区间是(α，b)，则t→α+或t→b－时有

　　　(4)

式中M(t)=(t，x(t))为积分曲线上的点坐标；

解的惟一性

ƒ(t，x) 的连续性不能保证初值问题(1)+(2)的解惟一。例如方程

其右端函数在整个平面R²上定义且连续，但过点(0，0)的解至少有两个：x₁(t)=0 和实际上这时有无限个解通过这个点(图3

)，形成过点(0，0)的一束解(称其为皮亚诺束)。这是平面情形。对一般的n，若方程(1)在域上过点(t₀，x⁰)的解不惟一，则过此点的积分曲线的全体形成一个漏斗状的集合，称为积分漏斗。

惟一性条件

初值问题解的惟一性条件，最常用的是李普希茨条件。设ƒ(t，x)在R:|t-t₀|≤α，│x-x⁰│≤b上连续，存在常数K 使当时，则说ƒ（t，x）在R上满足李普希茨条件。此外，常见的还有奥斯古德条件:当时。 其中ω(r)在r≥0上非负连续， 还有卡姆克条件:当时。 其中ω(t，r)是 0<t<α，r≥0上的连续非负函数，对任何α∈(0，α)，在0≤t≤α上连续可微的函数 r(t)呏0是满足方程及条件r(0)=妝₊(0)=0在区间0<t≤α上的惟一解。

如果ƒ(t，x)满足这些惟一性条件，则方程(1)只能有一个满足初值条件 (2)的解(惟一性定理)。这个定理可以用比较原理给以证明。在李普希茨条件下，解的存在性可以作皮卡逐步逼近序列 {x_m(t)}于│t-t₀│≤h上一致收敛于此解来证明。这些惟一性条件只保证解的局部惟一性。但只要ƒ在域G中每一点都满足惟一性条件，则方程(1)过G中任一点的饱和解都是惟一的。惟一性的讨论已有一百多年的历史，至今仍有人在研究，并相继提出了许多惟一性条件。

解对初值和参数的相依性

在应用初值问题描述一个物理过程时，由于初值和方程(1)的右端函数通常由实验测定，而小的测量误差可能引起解的很大变化，因此在应用中（如在变分法和最优控制等学科中），就需要考察初值和参数变化时解的变化规律。于是解对初值和参数的依赖关系在理论上和应用上都很重要。

考虑带参数的常微分方程

　　 (1)_λ

式中(t，x)∈G，G是Rⁿ⁺¹中的开域， λ∈I_λ，I_λ是开区间，ƒ:G×I_λ→Rⁿ。为了表明解对初值和参数的依赖关系，把方程(1)_λ满足初值条件(2)的解记为 x=φ( t， t₀， x⁰，λ)；而φ( t₀， t₀， x⁰，λ)= x⁰。

解对初值和参数连续的一般定理

设 ƒ（t，x，λ）在G×I_λ上连续，关于x满足李普希茨条件，即存在常数K>0，使那么对每个(t₀，x⁰)∈G，λ∈I_λ，存在通过(t₀，x⁰)的 惟一解 x=φ(t，t₀，x⁰，λ)，其定义域是R¹×G×I_λ中的开集E，在E上φ(t，t₀，x⁰，λ)是连续的。这个定理只表明过点（t₀，x⁰）的解在定义区域内是连续的，但并没有反映当初值和参数变化时解在 t的定义区间上整体的变化情况。下面的定理指出了对某个大范围内的t，解对初值和参数连续是一致的。

解对初值和参数的整体连续性定理

设ƒ(t，x，λ)满足上述定理的条件，又设x＝ψ(t)是方程(1)_λ当λ=憳 时的解，其最大存在区间为(с，d)。对任一闭子区间[α，b]嶅（с，d），存在δ>0，使当时，对任意和λ∈(憳-δ，憳+δ)，则方程(1)_λ的惟一解φ（t，t₀，x⁰，λ）至少在[α，b]上有定义，且是变量t，t₀，x⁰，λ在区域[α，b]×U_δ×（憳-δ，憳+δ）上的连续函数。并且对任意慪∈[α，b]，当时，φ(t，t₀，x⁰，λ)→ψ(t) 对 t∈[α，b]一致成立。对任意 ε>0，存在δ>0，使当│x⁰- ψ(t₀)|<δ，|λ-憳|<δ时有 |φ(t，t₀，x⁰，λ)-ψ(t)│<ε，t∈[α，b]。

上述两定理中，ƒ（t，x，λ）关于x满足李普希茨条件，目的是保证解的惟一性。事实上，只要初值问题(1)_λ+(2)的解是惟一的，那么上面两定理仍然成立。

解对初值和参数的可微性定理

设ƒ（t，x，λ）在G×I_λ内关于(x，λ)连续可微，那么初值问题(1)_λ+(2)的解x＝φ(t，t₀，x⁰，λ)作为变量(t，t₀，x⁰，λ)的函数在其定义域内连续可微。和作为t的函数分别满足初值问题和作为t的函数满足矩阵微分方程的初值问题Χ(0)=E。E为n×n单位矩阵。

在上面三个定理中，固定 λ时，就分别得到解对初值的有关依赖性定理。

初值问题的推广

当ƒ(t，x)连续时，就能保证牛顿解的存在性，但在实际应用中出现了ƒ(t，x)为不连续的情形，这类方程已成为现代微分方程理论研究的一个重要课题。前面已有例子表明，ƒ(t，x)不连续时，不一定有牛顿解存在，因此很有必要推广解的概念。到目前为止，已有多种解的推广，下面简述常遇到的卡拉西奥多里解的概念和一个存在性定理。设 φ(t)是区间I上的绝对连续函数，对t∈I上除了一个测度为零的集合外，满足方程则φ(t)称为方程(1)的卡拉西奥多里解或卡氏解。

卡拉西奥多里存在定理

设ƒ(t，x)在G上定义，对每个固定的x关于t可测，对每个固定的t关于x连续；对任一有界闭域D嶅G，存在勒贝格可积函数 m(t)，使得当(t，x)∈D时 |ƒ(t，x)|≤m(t)，则方程(1)存在一个满足初值条件(2)的卡氏解。当ƒ(t，x)在G上连续时，卡氏解就归结为牛顿解。

常微分方程初值问题在常微分方程理论的发展中有着重要的作用，在实际应用中也极其重要，在促进某些数学分支的发展中也起了很大的作用。到目前为止，这方面的研究还在进行。