随着经济发展，
水污染日益加剧，
水体污染最突出的问题是富营养化。
联合国
环境规划署(UNEP)的一项调查表明，全球范围内30%～40%的
湖泊和水库都有不同程度富营养化。湖泊富营养化通常呈现发展快、危害大、治理难、修复历时长等特点，而数学模型可以综合反映系统特征，因此建模是湖泊管理中特别有用的手段。综述了国内外湖泊富营养化数学模型的研究进展情况。将模型按照从简单到复杂分为4种类型分别进行评述，概述了各类模型的发展情况、优缺点及发展趋势。最后指出湖泊富营养化数学模型的发展趋势。
1富营养化模型研究进展
1.1经验回归模型
经验回归模型是在多年实测水质浓度资料及相关环境资料如生物数据的基础上，进行多元回归分析建立起的经验模型。大多描述
叶绿素a与磷和透明度之间的关系，也可预测浮游植物生物量、藻类平均或最大生物量等等。模型建模时通常需要大量数据，而这些数据的精度往往很难保证，加之建模时考虑因素过于简单，模型的准确性、灵敏性、可靠性都不太好，通常只在数据不太理想或建立复杂模型前用作初步的半定量估计。另外，模型往往对特定预测有效，即针对不同的TP浓度范围、决定系数要求及相关系数要求有不同的公式。经验模型虽然结果不是很准确，局限性较多，但也有其优点：可以提供水质变化的趋势；可以快速评价湖泊水质；为不熟悉数学模型的规划人员和决策者提供了定量工具等等。因此，这种模型目前在参数验证、水质评价或预测等方面应用仍较多。由于经验模型往往是静态的，不能反映季节变换的影响，近年来有模型使用浮游植物容量(藻类容量，AV)作为目标变量，建立TP(生长季节的数值)和AV的关系，旨在消除经验模型难以反映生长季节情况的缺陷。Jan-TaiKuo等人用B-P人工
神经网络对DO、TP、Chl-a、SD分别建立了非线性关系，大大提高了对水质因子预测的准确性。
1.2营养盐模型
引起富营养化的营养物质主要是碳、氮、磷，一般淡水环境中碳、氮、磷的比率为106∶16∶1。根据Liebig最小生长律，氮、磷是富营养化的限制元素，而在淡水环境中，磷又是影响初级
生产力的最主要因素，所以定量的负荷方法和模型大多涉及磷。
1968年，加拿大著名湖沼学家沃伦韦德(Vollenweider)首次用公式定量描述了水中磷、氮及要求的营养状况的负荷准则(营养物负荷概念)，建立了反映夏季蓝绿藻和磷负荷之间关系的模型。1975年，他又提出用磷来预测水体营养状况的模型，即Vollenweider模型。该模型假定水体混合均匀、限制性营养盐单一，其公式简单，所需数据少，适合对湖泊及水库的营养盐变化进行长期预测或对水体营养状况进行总体评价。Vollenweider模型在美国和加拿大的一些湖泊进行过率定，是世界上应用最广泛的富营养化模型之一。此后，各国研究人员对该模型进行修正，提出不同的模型，如1974年的Ditoro模型，1983年的Orlob模型，以及Laesen-Mercier模型等等。
DONG-ILSEO和RAYMONDP.CANALE以gawa湖为研究对象，详细比较了几种表现形式和可靠性不同的总磷模型。各种模型中，有基于经验的，也有根据守恒原理的；有单独考虑总磷浓度的，也有将总磷分为溶解态和颗粒态的；有的模型将水体视为均匀混合，有的则将水体分为两层甚至更多层。模型的时间尺度也各不相同，有的仅针对生长季节，有的则计算1a或更长时间。有的模型还考虑了沉积物的影响。研究表明，湖泊中的底泥是湖泊水体中营养盐主要来源之一。在浅水湖泊的磷总量平衡中，底泥磷占整个内负荷的60%～80%，而影响底泥磷释放的因素众多，因此，模拟底泥和水体界面的营养盐(主要是磷)交换是营养盐模型研究不可忽视的重要方面，但同时也极为复杂。近年来，富营养化模型发展迅速，不少底泥模型相继出现。
早期磷模型虽然简单，但存在不少缺点：模型只能求解总磷的平均
浓度分布，不能模拟各种形态磷在水中的循环过程；模型假定水体混合均匀，无法反映污水入湖后，总磷浓度分布的时空差异；模型未考虑沉淀物与水体的磷交换过程，等等。虽然单一营养物质模型考虑因素简单，预测不是十分准确，但在预测评价、模型校正等方面应用广泛。
近年来，营养盐模型，在很大程度上克服了以上缺陷，有很大发展：从单一的总磷浓度发展到模拟水体中整个磷系统(包括颗粒磷、溶解无机磷和
浮游生物中的磷，等等)的循环；从单纯考虑水体本身的营养盐循环发展到考虑底泥和水体界面的营养盐交换过程；从简单的水体完全混合模型发展到多层模型等。如：预测磷浓度的LEEDS(LakeEutrophication，Effect，Dose，Sensitivity)模型，其参数获取简单，用于实际湖泊效果良好，因此应用广泛。
1.3浮游植物动力学模型
浮游植物动力学研究在物理过程驱动下，浮游植物自身的生产与代谢、营养盐循环与补充和浮游动物捕食作用下的浮游植物生物量的时空分布规律及控制因子。
丹麦著名
生态学家J￠rgensen(1983年)指出浮游藻类的生长是富营养化的关键过程，研究氮、磷负荷与浮游藻类生产力的
相互作用和关系是揭示湖泊富营养化形成机理的主要途径。氮、磷等营养盐对浮游植物生长的影响可分两种：一种是将生长描述为细胞外部营养盐浓度的函数；另一种则是作为细胞内部营养盐的函数。J￠prgensen提出的两阶段生长理论替代了经典的Monod生长理论，较好地解释了藻类在营养盐过剩时的吸收情况。Droop假设：外部营养盐浓度决定了藻类对于营养盐的吸收能力；藻类的生长由内部营养盐浓度决定；稳定状态下，营养盐吸收必须等同于生物量生长率和内部营养盐浓度，在此基础上于1973年提出了基于内部营养盐的生长函数。DiToro比较了内部和外部营养盐浓度分别对浮游植物生长的影响，基于实际研究对象，他发现由两种函数算得的藻类生长率几乎没有差别。此后的研究者考虑细胞内部营养盐影响的并不多。CarlF.Cerco在研究磷吸收对于藻类生长影响时再次考虑了内部营养盐的影响，构建出了适合空间和时间要求的新的富营养化模型。藻类吸收营养物质才能生长，吸收量可由Michaelis-Menten方程确定。但该方程不能解释营养物质丰富时过剩的吸收。Lehman和J￠rgensen分别提出了一个新的公式，将藻类增长分成两个阶段：首先吸收营养物作为细胞内的营养质，然后藻类消耗内部营养物质生长、呼吸、死亡。
Lehman首次利用Droop营养盐限制变量和营养盐增加(multiple)限制建立了生态系统模型，根据营养盐增加限制计算藻类生长。模型符合Baule''s原理，但违背了Liebig最小值定律。DeGroot指出营养盐限制模型的预测结果和实测数据不符。T.Legovic和A.Cruzado认为藻类生长受多种营养盐影响，在Michaelis-Menten-Monod方程、浮游植物生长的Droop函数和Liebig最小值定律基础上建立了浮游植物生长模型，针对浮游植物稳定存在状态加以讨论。在限制性营养盐含量相同情况下，根据模型找到了限制性营养盐(由Redfield比率表述)。
在具体方程形式上，仅仅描述浮游植物随时间变化的常
微分方程模型仍被广泛应用，这些模型能够处理数据并进行分析，但描述实际空间现象如沉降、光透射、水流和紊动时就显得无能为力了。而使用偏微分方程就可以描述浮游植物生物量是如何受空间和时间影响而发生变化的。
VincenzoBotte耦合N-P-Z浮游生物模型，基于偏微分方程，采用
有限元方法求解二维N-S方程，预测了春季温度回暖和
温度梯度对浮游植物生态系统的影响。JingjieZhang，SErikJ￠rgensen等人根据限制性营养盐磷建立了结构动力学模型，针对沉水植物生长旺盛的湖泊进行了模拟，将exergy作为目标函数考虑了动态适应性和多种季节性浮游生物，该模型很好地描述了浮游植物和沉水植物之间的竞争性。OlliMalve等人建立的非线性动力模型描述了3种优势藻类的演替，采用蒙特卡洛方法进行参数估计，提供了一种处理紊乱数据和大量难以确定的参数的方法，模型与8a的现场观测数据相符。总体看，很少有生态动力学模型可以将浮游植物生物量增加有关的所有因子和过程考虑在内，也没有哪个模型包含了生产力、扑食影响、自身生长、衰减、食物选择情况等所有生态系统特征，有些因素很基本，如光区深度、掠夺行为和季节变换等，但很难量化地体现在模型中，也没有哪个模型使用很少的驱动变量就能获得很好的预测效果，并能应用于所有湖泊。所有模型都不同程度的存在缺陷和不足。模型确定往往受制于研究问题的时空尺度，同时也取决于对特定研究湖泊的参数的研究，研究目的不同，浮游植物动力学模型的复杂性和时空尺度也不同。大量模型经特定湖泊验证给定了系数和模型变量，但只能较好描述一些湖泊，对有些湖泊并不适用。尽管每一种模型都只表征了浮游植物动力学的某些特征，但基本上都包含了浮游植物—营养盐方程，并耦合相应的水动力模型，有些则包含了更高营养层次的作用，这种方法仍是湖泊学中的主要模拟手段。
1.4生态系统动力学模型
不从系统角度考查湖泊，湖泊生态系统恢复措施不可能达到很好的预期效果，甚至会导致更坏结果的出现。因此，要更全面、清楚地了解湖泊系统本身的行为，建立生态系统模型是必然趋势。湖泊生态系统动力学的研究对象是湖泊的生态结构、功能、时空演变规律及其物理、化学、生物过程对水生生态系统的影响及其反馈机制，并且预测系统的动态变化。系统分析方法是模拟的基础，将其用在湖泊生态系统研究始于Chen和Orlob，他们的研究奠定了对生态系统动力学模拟的基础。Arnold研究了生态系统研究及管理中的系统分析方法，Jeffers对系统分析在生态学上的应用进行了总结。
此外，系统动力学(systemdynamics)理论也是研究和描述系统动态的有力工具，其主要研究内容是通过建立数学模型，分析一个动力系统长时间所表现出来的动力学行为。
完整的湖泊生态模型研究开始于20世纪70年代，经历了从简单到复杂、从零维到三维的过程。在湖泊富营养化研究过程中，J￠rgensen于1976年最早提出浅水湖泊生态模型，该模型被广泛应用于热带、温带地区不同类型的浅水湖泊、水库和海湾的研究。但由于生态系统动力学模型是对系统的描述，涉及众多变量，参数率定往往以特定湖泊为对象确定，因此已存在的模型大多是针对特定湖泊建立起来的。如，北美的五大湖、华盛顿湖、欧洲的巴拉顿湖、日本的琵琶湖和霞浦湖等，都有相应的生态模型，而且在研究和应用方面都比较成功。
中国的湖泊生态系统动力学模型研究始于20世纪80年代，主要集中在
滇池、太湖、东湖、巢湖、西湖等富营养化严重的湖泊以及其他水体。
目前，已有一些软件用于湖泊生态系统动力学模拟，有CE-QUAL-ICM、WASP、AQUATOX、Pamolare、CAEDYM等，以及用来模拟湖泊能流的软件ECOPATH。近年来应用较多的是美国环保署开发的WASP，其建模原理是水量和
污染物质在时空上的守恒，模型由两个子模型构成，可以模拟任何地表水体。Pamolare(PlanningandManagementofLakesandReservoirs)由联合国环境规划署(UNEP)国际环境技术中心(IETC-UNEP)和国际湖泊环境委员会(ILEC)联合开发。该软件包根据复杂性不同，由4个子模型构成，并在LakeGlums湖得到应用与测试。
在建模方法上，一般以质量平衡方程为基础，主要考虑：物理扩散迁移，生化反应及源、汇等因素；模拟对象则包括细菌、浮游动植物和
底栖生物及鱼类等的生长与死亡，生源要素(氮、磷等)的循环以及BOD、DO的动力过程等等。建模时对时空尺度的选择很重要。物理、化学过程相对于生物过程，时空尺度要小得多，如果尺度选择过小，模型运算量、存储量就很大，而且生物过程几乎不显著；反之，物理、化学过程就得不到充分体现。因此，在模拟过程中，需要结合模拟目的对尺度进行权衡选择。
生态系统模型虽然考虑因素多，对系统的描述很全面，但不可避免的也有其缺点。这类模型所需数据多，很少有湖泊可以提供充足的数据，这就限制了模型的应用。由于对一些机理尚未搞清楚，参数选择仍是经验估计，精度并没有预期那么高。参数选择上多是参照具体的研究对象，模型中因包含湖泊具体的内部关系，而使建立在某一湖泊上的模型具有唯一的个性特征。因此，这样的模型还是有很大局限性的，并且计算量一般都很大。
模型发展方面，变量是重要的制约因素。有些状态变量，如鱼类及浮游动物生物量很难在现场连续观测获得实测数据，这样就不可能在实际观测数据基础上进行校正，因此模型的灵敏度、可靠性就得不到有效提高。MasakiSagehashi等建立的巴拉顿湖生态系统模型，成功地把鱼类、浮游动物等作为状态变量添加进模型，并利用蒙特卡洛方法在实测数据基础上对模型参数进行校正和检验。同时，越来越多的研究者使用Exergy控制下的参数组合模拟程序实现模型参数随时间的变化，以更真实地反映生态系统的变化情况。
参数的可变性使得模型可以提供更多动态特性，模拟结果大大改善。
2发展趋势
2.1引入
随机过程
生态系统本身是复杂多变的，含有众多不确定性因素。为了使问题得到解决，人们常将随机问题视为确定性问题进行简化。但随着研究的深入，必然要回复对研究对象本来面目的表述，将
随机性考虑在内便是必然趋势。国内已有人在此方面做出了尝试，如饶群考虑随机过程的影响，在Vollenweider模型的基础上，建立了一个完全混合系统的总磷浓度的随机微分方程模型。该模型将总磷浓度的变化过程当做一个随机过程，在获得初始条件的随机特性后得到模型的数值解和解析解，从而得到总磷浓度的一阶矩均值和二阶矩方差。模型应用结果与实测资料吻合良好。
2.2非线性方法应用
藻类的生长受到众多因素影响，本身是非线性现象。因此，运用非线性方法和分岔混沌理论对模型进行分析和研究，从深层次和本质上揭示模型的规律，代表了模型研究的重要方向。此外，由于富营养化涉及的变量很多，有些很难定量模拟，可运用现代非线性动力学理论，对模型进行了稳定性和分岔行为的研究。另外，人工神经网络(ANNs)能够很好地描述生态系统变量的非线性关系，近年来应用较多。
2.3对气候条件的考虑
气候影响体现在多方面：大气物理化学等变化会对湖泊浮游植物生长率、溶解氧的垂直分布产生重要影响；随着全球气候变暖，湖泊水温随之升高，进而有可能加剧湖泊富营养化；气候变化还会影响藻类种群变化。因此，对于气候等条件加以充分考虑是模型发展的内在要求。HanyHassan等人考虑水文和气候对于水质和热量交换的影响，将其作为湖泊水质模型和富营养化过程的组成部分加以考虑，建立了可以预测气候变化时浮游植物生物量、溶解氧浓度的模型。J.M.Malmaeus等人将湖泊物理模型和磷模型与区域气候模型(RCM)生成的两个温度模式相结合，得出了气候变化对于物理性质不同的湖泊有着不同影响的结论，在全球气候变暖的趋势影响下，湖水更换周期长的湖泊富营养化问题将更加严重。
2.4遥感技术应用
建模的一个重要基础是监测资料，而水体遥感监测正是通过研究水体反射光谱特征与水质参数浓度之间的关系，建立水质参数反演算法，对湖泊富营养化进行监测，这已成为目前湖泊遥感技术应用的主要领域之一。GIS在环境领域应用很多，如气候变化对水质的影响、水体生态系统的群落分析、地表水流动分析等等。将GIS(地理信息系统)加入到水质模型的国外实例也有很多。
水体污染：湖泊富营养化数学模型研究
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