概率数论

[拼音]：guil╇ shulun

[外文]：probabilistic number theory

研究数论函数的分布问题。概率数论开始于1917年G.H.哈代与S.A.拉马努金关于数论函数ω(n)的研究。此处ω(n)表示n的不同素因子的个数，例如ω(1)=0，ω(2)=1，ω(20)=2，ω(30)=3。对于任意的k，当n为k个不同素数之积时，有ω(n)=k。特别，当n=p为素数时，有ω(p)=1。所以ω(n)(n=1，2，…)的分布很不规则，它可以取任意大的整数值，而又无穷多次取值1及2，3等。因此，研究ω(n)的值分布就从研究ω(n)在区间[1，x]中的期望值入手，其中x是大于或等于2的整数。命Ak表示区间[1，x]中为k所整除的整数组成的集合，Px(Ak)表示Ak的概率。例如当x=100时，

一般说来

假定p、q为互异的素数，则，所以当x充分大时，有

这说明当n在区间[1，x]中随机选取时，事件Ap与Aq是渐近独立的，所以ω(n)在[1，x]中的期望值为

，

它渐近地等于（见素数分布）。

命ψ(y)为任何当y趋于无穷时亦趋于无穷的函数，则。

这就说明在 ω(n)(1≤n≤x)中，只有极少数是偏离ln lnx 的。

1934年，P.图兰进而证明了

1939年P.爱尔特希与M.卡茨发展了P.图兰的方法，证明了中心极限定理: 命ƒ(n)为适合│ƒ(p)│≤1 的强加性函数。所谓强加性函数，即当(m ，n)=1时，ƒ（m ，n）=ƒ(m)+ƒ(n)，且又命。假定B(x)→∞（当x→∞时），则

，

并称之为爱尔特希-卡茨定理。

当取ƒ(n)=ω(n)，则得

在概率数论方面作过重要贡献的还有J.库比利乌斯、M.B.巴班、A.温特纳和P.D.T.A.埃利奥特等人。

参考书目
  1. P.D.T.A.Elliott，Probabilistic Number Theory，Ⅰ，Ⅱ，ASer.Comp.Stu.Math.，Spr.Ver.，No.239，240，1980.
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