单叶函数

复变函数中一类重要的解析函数。在复平面区域D上单值的解析函数?(z),若对D中任意的不同的两点z1z2?(z1)≠?(z2),就称作是单叶的。由著名的黎曼映射定理知道,任意两个至少有两个边界点的单连通区域D1D2,一定可以相互共形映射,即存在解析的单叶函数?,将D1一一地映射为D2,所以对单叶函数的研究在复变函数论中显得很重要。由于单叶映射也是最简单的映射,所以对它的讨论也是复变函数论中最基本的内容之一。

若解析函数?(z)在D中单叶,则?(z)≠0在D中成立;反之,?(z)≠0在D中成立,不一定能保证?(z)在D中单叶,只能说在一点的一个邻域内单叶。

最早对单叶函数有重要贡献的是P.克贝(1909)、L.比伯巴赫(1916)、G.费伯(1916)等。例如,比伯巴赫证明了重要的偏差定理:若?(z)在|z|<1中正则单叶,且?(0)=0,?(0)=1,则;等号限于克贝函数时成立。在证明这些不等式时,比伯巴赫讨论了单叶的半纯函数,给出了面积原理:g()将││>1映射的区域的余集的面积是非负的,这可写成。由此他证明:若?(z)=z在|z|<1中解析单叶,则|α2|≤2。由此可导出克贝掩盖定理:|z|<1经w=?(z)映射后的像一定掩盖|w|< 1/4的圆;当且仅当?(z)为克贝函数时,正好掩盖|w|< 1/4的圆。再进一步的结果就是偏差定理。对于单叶函数,有很多有趣的几何性质,如 Γ.М.戈卢津证明了如下回转定理:若在|z|< 1中正则单叶,则对|z|=r时,有|arg?(z)|≤4sin-1r,当;,当。又如戈卢津证明了n-截线定理:若?(z)=z+z<1中正则单叶,w=?(z)将|z|<1映为R,则一定存在从w=0出发在R内的n条射线,两条相邻射线的夹角为2π/n,使得这n条射线的总长至少为n。1916年,比伯巴赫提出了一个猜想:若在|z|<1中正则单叶,则|αn|≤n对所有n都成立,等号成立限于克贝函数。这个猜想称为比伯巴赫猜想,它曾经是单叶函数的研究的中心问题。1925年,J.E.李特尔伍德证明了|αn| n, 此后迭经改进,其中重要的一步是1965年И.М.米林应用他创造的方法证明了| α n|<1.243 n。另外,1972年C.H. 菲茨杰拉尔德建立了重要的不等式,证明了 。1923年K.勒夫纳创造了参数表示法,证明了| α 3|≤3。1955年,P.R.加 拉贝迪安与M.M.席费尔应用变分法证明了| α 4|≤4。1960年Z.恰尔任斯基和席费尔应用格伦斯基不等式简化了证明。沿用这个方法,1968年,R.N.佩德森和小沢满各自证明了| α 6|≤6。1972年,佩德森和席费尔证明了| α 5|≤5。另外可以证明,对于一些特殊函数类,比伯巴赫猜想成立,如星象函数、近似凸函数、实系数函数等。1955年W.K.海曼证明了 ,等号成立限于克贝函数。即对于一个固定的,在| z|<1中解析单叶的函数,当 n充分大时,比伯巴赫猜想成立。

由比伯巴赫猜想产生了一系列相关的猜想,如米林猜想,罗伯森猜想,希尔斯莫尔猜想,罗戈辛斯基猜想,李特尔伍德猜想等,其中最重要的是米林猜想;若?D中正则单叶且?(0)=0,?┡(0)=1,,则,对所有n=1,2,…都成立。可以证明米林猜想导出比伯巴赫猜想。1984年L.de布朗基结合勒夫纳方法及米林方法证明了米林猜想,从而证明了比伯巴赫猜想。历时68年终于证明了这个著名的猜想。

参考书目
  1. W.K.Hayman,Multivalent Functions,Cambridge Univ.Press, Cambridge, 1958.
  2. J.A.enkins,Univalent Functions and ConforMal Map-ping,Springer-Verlag, Berlin,1958.
  3. L.de Branges,Acta MatheMatica,154, pp. 137~152,1985.