交换群

[拼音]：jiaohuanqun

[外文]：commutative group

其运算适合交换律的群，或称阿贝尔群。挪威数学家N.H.阿贝尔在讨论高次方程时曾用到过有限交换群，为了纪念这位著名数学家，而常把交换群称作阿贝尔群。交换群是一般群论中的一个独特分支。在拓扑学和代数学中常常构造一些交换群，作为讨论问题的工具，例如，拓扑学中的基本群、同调群、代数学中的布饶尔群等等。交换群论与代数拓扑、模论、同调代数、环论等有密切的联系。

交换群作为特殊类型的群，也有诸如元素的阶、群的阶、子群、商群等概念以及相应的结果（见群）。在交换群中，子群和正规子群是相同的概念，习惯上把交换群的运算记作加法，用0表示群的单位元素，用-α表示元素α的逆元素，用nα表示α的n次幂，交换群的直积改称为直和。

有限非交换群有复杂的结构，至今还不完全清楚。然而有限交换群却有着非常简单的结构。1878年，F.G.弗罗贝尼乌斯等证明了下面的基本定理：任一有限交换群G可表成有限个且阶为素数幂的循环群的直和，即，其中k是自然数，Gi是循环群且，pi是素数，ni是自然数，并且数k和是由群G完全确定的。这个定理是一个具有典型意义的结构定理。关于有限交换群的子群、商群、自同态等问题，都可以利用这个定理去解决。因而，交换群理论的主体是研究无限群。

对于具有有限个生成元的无限交换群G都可表成有限个循环群的直和：其中Gi是循环群且，pi是素数，ni是自然数。而Fj都是无限循环群；且非负数k，s以及由群G惟一确定。这是对于有限交换群基本定理的一个完满的推广。

以上两个定理是一系列研究的起点，启示人们考虑还有哪些群类（更一般地，模类）可表为循环群（循环模）的直和，这样的群类具有什么性质，等等。

n个（有限个或无限个）无限循环群的直和G，称为自由交换群或自由群，其个数(基数)n是群的不变量，称为自由群G的秩。自由群在交换群理论中所占的地位，与非交换自由群在一般群理论中的地位相当，即任意一个群A总可看成自由群的同态像。为此，只要取定群A的一个生成元集，并相应地取符号集{xα，α∈I}，以xα为生成元可作无限循环群<xα>，再作它们的直和即得自由群G=嘰<xα>。G中元素都可惟一写成有限和形式是整数。因此，可作映射

易知，φ是自由群G到群A上的同态映射。还可以证明，自由群的非零子群仍是自由群。

若干个循环群的直和G具有与自由群类似的一些性质。例如，这样的直和G的子群，也是一些循环群的直和；当把G表成无限循环群与阶为素数幂的循环群的直和时，这种表法在同构意义下是惟一的，即其中无限循环群的个数与阶为素数幂的循环群个数都由G本身惟一确定。

每一元都是有限阶（无限阶）的交换群，称为周期群(无扭群)。既含有有限阶元又含有无限阶元的群，称为混合群。每一元的阶都是素数p的幂的群，称为准素群或p准素群。

除群是个重要的而且已被完全刻画了的群类。所谓除群G，是指对于任意自然数n和任意元素α，方程nx=α都有解的群G。不难验证，全体有理数关于数的加法作成一个无扭除群；而对于固定的素数p及所有自然数n，一切pn次单位根的全体关于复数的乘法作成p准素群P，它也是除群，并记作p∞型群。任意除群都是若干个有理数加群和若干个p∞型群（对某些素数p）的直和。R.贝尔指出除群具有如下特性:若群G含有一个除子群h（即h本身是除群），则h必是G的直和项，即有子群K使G=h嘰K。反之，具有如下性质的群h必是除群：若h是群G的子群，则h必是G的直和项。除群是模论中重要的入射模概念的一个原型。不含除子群的群，称为简约群。对任意交换群的研究可归结为对简约群的研究。

交换群G中有限阶元素的全体可作成一子群h，称为G的周期子群，而商群G/h是无扭群。周期群G中阶为素数p之幂的元素的全体G(p)是G的子群，且有(p取遍所有素数)。因此，周期群的研究可归结为准素群的研究。设G是p准素群，对自然数n规定。易知，pnG是子群，且有。设非零元素α∈G，若有n使得α∈pnG，而G，就把n称为α的高。否则，就说α的高是∞。因此，α的高就是使方程pmx=α在G中有解的最大自然数m(或∞)。高是交换群论中最重要的概念之一。除群中每一元素的高都是∞，而循环群的直和中则没有高为∞的元素。

重要的普吕菲尔定理给出一些可表为循环群的直和的某些群类：

（1）若G是p准素群且有n使pnG={0}，则G是循环群的直和。

（2）若G是可数(即|G|是可数基数)p准素群，但是它不含高为∞的元素，则G是循环群的直和。

含有高为∞的元素的群不可能表成循环群的直和，对此需另寻刻画方法。H.厄尔姆在20世纪30年代作出了影响深远的贡献。他对p准素群G引入了定义在序数集上取值基数的一个函数?G(α) (后来称之为厄尔姆不变量)，给出了重要的厄尔姆定理:两个可数p准素群G和h是同构的，当且仅当它们有相同的厄尔姆不变量，即对所有的序数α，有?G(α)=?H(α)。近年来，这个定理在I.卡普兰斯基和E.沃克等人手中得到进一步的推广。例如，对于一类所谓完全投射群，相应的结论也成立。

对于无扭群，秩是一个最基本的概念，它类似于向量空间的维数。如果对于群G的有限个元素α1，α2，…，αn有不全是零的整数k1，k2，…，kn，使得，就说α1，α2，…，αn是相关的，否则就说是无关的。如果G的一个子集S的任意有限子集都是无关的，就说S是无关的。群G的所有极大无关子集具有相同的基数，称为G的秩。秩为1、2的无扭群的结构基本上已清楚，例如，秩为1的无扭群恰为有理数加群的一切子群。其他一些无扭群也作过研究，例如完全分解无扭群以及它们的纯子群。总之，对无扭群的研究远不如对周期群的研究深入。

混合群G总可以看成周期群A借助无扭群B的扩张。最初的一些研究，常集中于如下的问题：在什么条件下这个扩张G是可裂的，即有G=A嘰B成立。R.贝尔给出一个结果：若混合群G的周期子群A是一些除群和一些阶小于某固定n的循环群的直和，则G是可裂的。近年来，I.卡普兰斯基、R.B.沃菲尔德等找到了一些方法，能从整体上讨论混合群，从而开创了一个新局面。

任一交换群都可看成整数环上的模，为此只需引入模运算n·g=g+…+g(n个)即可。交换群作为特殊的模，为一般模论提供了大量的概念和定理的原型，例如张量积就是其中之一。交换群G的自同态对应全体End(G)关于自同态的乘法和加法作成一个环，而交换群G可以自然地看成End(G)的任意子环上的模。交换群、模论、环论是互相密切联系的。

参考书目
  1. I.Kaplansky，Infinite Abelian Groups，Revised ed.，Univ.of Michigan Press， Ann Arbor， 1969.
  2. L.Fuchs，Infinite Abelian Groups，Vol.1～2，Academic Press，New York，1970，1973.